Каковы периметр и площадь ромба с углом ∢ MLK, равным 60°, длиной OM, равной 9 м, и радиусом вписанной окружности

Kosmicheskaya_Sledopytka

17

Чтобы найти периметр и площадь ромба с заданными параметрами, мы можем использовать несколько свойств ромба.

Давайте начнем с построения ромба и обозначим имеющуюся информацию. Построим ромб ABCD, где O – центр вписанной окружности, а M – точка на одной из его сторон. Также обозначим точку K на стороне AB и точку L на стороне BC, так что угол MLK равен 60°.

Теперь рассмотрим некоторые свойства ромба:
1. Все стороны ромба равны между собой.
2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на четыре равных треугольника.
3. Длина диагонали ромба равна удвоенной длине радиуса вписанной окружности.

Теперь давайте воспользуемся этими свойствами для нахождения периметра и площади ромба.

Шаг 1: Найдем длину диагонали ромба.
По свойству 3, длина диагонали ромба равна удвоенной длине радиуса вписанной окружности:
\[d = 2 \times r = 2 \times 7,79 = 15,58\ м.\]

Шаг 2: Найдем длину стороны ромба.
По свойству 1, все стороны ромба равны. Поскольку диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника, сторона ромба равна половине длины диагонали:
\[s = \frac{d}{2} = \frac{15,58}{2} = 7,79\ м.\]

Шаг 3: Найдем периметр ромба.
Поскольку все стороны ромба равны, периметр будет равен четырехкратному значению длины стороны:
\[P = 4 \times s = 4 \times 7,79 = 31,16\ м.\]

Шаг 4: Найдем площадь ромба.
Для нахождения площади ромба можно использовать две формулы: \(S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\) или \(S = s^2 \times \sin(\alpha)\), где \(d_1\) и \(d_2\) – диагонали ромба, \(s\) – длина стороны ромба, а \(\alpha\) – угол между любыми двумя сторонами ромба.

Мы знаем, что угол MLK равен 60°. Поэтому воспользуемся формулой \(S = s^2 \times \sin(60°)\):
\[S = 7,79^2 \times \sin(60°) = 7,79^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 45,48\ м^2.\]

Таким образом, периметр ромба равен 31,16 м, а площадь равна около 45,48 квадратных метров.