Як довго має пройти, щоб кількість радіоактивних ядер у зразку зменшилася у 16 разів, з урахуванням періоду піврозпаду

Luna_V_Omute

17

Щоб відповісти на ваше запитання, ми можемо застосувати формулу для розпаду радіоактивного матеріалу. Формула виглядає так:

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \]

де:
- \( N(t) \) - кількість радіоактивних ядер залишених через час \( t \)
- \( N_0 \) - початкова кількість радіоактивних ядер
- \( \lambda \) - константа розпаду, що відповідає за швидкість розпаду радіоактивного матеріалу
- \( t \) - час протягом якого відбувається розпад

За вашою задачею, початкова кількість радіоактивних ядер - \( N_0 \), але не вказана. Тому, щоб розв"язати цю задачу, ми повинні використати дані про те, що кількість радіоактивних ядер зменшується у 16 разів протягом вказаного періоду піврозпаду.

З нашого відомого рівняння, ми можемо записати:

\[ \frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{16} \]

Також відомо, що період піврозпаду радію становить 1600 років.

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{\text{пів}}}\]

де \( \ln(2) \) - натуральний логарифм з 2, а \( T_{\text{пів}} \) - період піврозпаду.

Тепер ми можемо розв"язати цю систему рівнянь. Розкриваємо \(\frac{1}{16}\):

\[ \frac{N_0 \cdot e^{-\lambda t}}{N_0} = \frac{1}{16} \]

\[ e^{-\lambda t} = \frac{1}{16} \]

Використовуючи вираз для \(\lambda\) та враховуючи, що \(T_{\text{пів}} = 1600\) років:

\[ e^{-\frac{\ln(2)}{1600} \cdot t} = \frac{1}{16} \]

Щоб обратися до одного із набору степеневих функцій, використаємо натуральний логарифм. Використовуючи властивість логарифма, де \( \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) \), ми отримаємо:

\[ -\frac{\ln(2)}{1600} \cdot t = \ln\left(\frac{1}{16}\right) \]

\[ -\frac{\ln(2)}{1600} \cdot t = \ln(1) - \ln(16) \]

\[ -\frac{\ln(2)}{1600} \cdot t = -\ln(2^4) \]

\[ -\frac{\ln(2)}{1600} \cdot t = -4 \ln(2) \]

Ділимо обидві частини на \(-\ln(2)\):

\[ \frac{t}{1600} = 4 \]

\[ t = 1600 \cdot 4 \]

\[ t = 6400 \]

Отже, щоб кількість радіоактивних ядер у зразку зменшилася у 16 разів при періоді піврозпаду радію 1600 років, має пройти 6400 років.