Докажите, что при отражении светового луча от плоского зеркала, между единичными векторами n (нормалью к плоскости

Gloriya

57

Для доказательства соотношения \(е_2 = е_1 - 2(е_1, n)n\) при отражении светового луча от плоского зеркала, мы воспользуемся законом отражения света и свойствами векторного произведения и скалярного произведения.

Ваня, представь себе плоское зеркало, на котором падает световой луч. Пусть единичный вектор \(n\) указывает в направлении нормали к поверхности зеркала, \(е_1\) - единичный вектор, указывающий в направлении падающего луча, и \(е_2\) - единичный вектор, указывающий в направлении отраженного луча.

Закон отражения света гласит, что угол падения световых лучей равен углу отражения. Поэтому, \(е_1\) и \(е_2\) будут симметричны относительно нормали \(n\).

Теперь давайте посмотрим на следующую картинку, чтобы лучше понять ситуацию.

\[тут должна быть картинка со стрелками и плоским зеркалом\]

Как видишь, вектор \(е_1\) можно представить как сумму компонентов, параллельных \(n\) (синий стрелка) и перпендикулярных \(n\) (зеленая стрелка). Рассмотрим каждую компоненту отдельно:

1. Компонента, параллельная \(n\), влияет только на плоскость зеркала. Поскольку световой луч отражается в этой плоскости, то отраженный луч \(е_2\) также будет иметь ту же компоненту, параллельную \(n\). Таким образом, мы можем записать:
\[(е_1 \cdot n)n = (|е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1))n = |е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1) \cdot n,\]
где \(\cos(\theta_1)\) - это косинус угла между \(е_1\) и \(n\), \(|е_1|\) и \(|n|\) - их модули соответственно.

2. Компонента, перпендикулярная \(n\), не меняет направление при отражении. Поэтому, эта компонента \(е_1\) остается неизменной и равняется \((е_1 - (е_1 \cdot n)n)\).

Теперь объединим оба этих шага:

\[е_2 = (е_1 - (е_1 \cdot n)n) + |е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1) \cdot n.\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[е_2 = е_1 - (е_1 \cdot n)n + |е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1) \cdot n.\]

Заметим, что мы можем вынести \(n\) за скобки:

\[е_2 = е_1 - n(е_1 \cdot n) + |е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1) \cdot n.\]

Теперь посмотрим на первые два слагаемых:

\[е_1 - n(е_1 \cdot n) = е_1 - n|е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1).\]

Обрати внимание, что \(|е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1)\) - это скалярное произведение \(е_1\) и \(n\), которое мы можем записать как \((е_1, n)\):

\[е_1 - n(е_1 \cdot n) = е_1 - n(е_1, n).\]

Получили окончательное выражение для \(е_2\):

\[е_2 = е_1 - n(е_1, n) + |е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1) \cdot n.\]

Теперь мы только произведем некоторые преобразования:

\[е_2 = е_1 - (е_1, n)n + |е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1) \cdot n.\]

Но мы помним, что \(|е_1| \cdot |n| \cdot \cos(\theta_1) = (е_1, n)\), поэтому окончательно получим:

\[е_2 = е_1 - 2(е_1, n)n.\]

Итак, мы успешно доказали соотношение \(е_2 = е_1 - 2(е_1, n)n\), которое выполняется при отражении светового луча от плоского зеркала.