Як можна представити число 24 як суму трьох додатних чисел так, щоб співвідношення першого числа до другого було 1:2

Морозный_Король

62

Для решения данной задачи, давайте представим первое число как \(x\), второе число как \(2x\) и третье число как \(y\). Тогда у нас есть следующие условия:

\[
\begin{align*}
x + 2x + y &= 24 \\
x^3 + (2x)^3 + y^2 &= \text{минимально}
\end{align*}
\]

Решим первое уравнение:

\[
\begin{align*}
x + 2x + y &= 24 \\
3x + y &= 24 \\
y &= 24 - 3x
\end{align*}
\]

Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\[
\begin{align*}
x^3 + (2x)^3 + y^2 &= \text{минимально} \\
x^3 + 8x^3 + (24 - 3x)^2 &= \text{минимально} \\
x^3 + 8x^3 + (576 - 144x + 9x^2) &= \text{минимально} \\
9x^3 - 144x + 576 + 9x^2 &= \text{минимально}
\end{align*}
\]

Для нахождения минимального значения этого выражения, мы можем найти его минимум, взяв производную по \(x\). Рассчитаем производную:

\[
\begin{align*}
\frac{d}{dx}(9x^3 - 144x + 576 + 9x^2) &= 27x^2 - 144 + 18x \\
\end{align*}
\]

Чтобы найти экстремумы, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[
\begin{align*}
27x^2 - 144 + 18x &= 0 \\
9x^2 + 6x - 48 &= 0 \\
(3x - 6)(3x + 8) &= 0 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получаем два значения \(x\): \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -8/3\).

Однако, нам нужно найти только положительные значения для \(x\) и \(y\), поэтому отбросим \(x_2\) и выберем \(x_1 = 2\). Теперь подставим \(x_1\) в первое уравнение для нахождения \(y\):

\[
\begin{align*}
3x + y &= 24 \\
3(2) + y &= 24 \\
6 + y &= 24 \\
y &= 24 - 6 \\
y &= 18
\end{align*}
\]

Таким образом, получаем значения: \(x = 2\), \(2x = 4\) и \(y = 18\).

Итак, число 24 можно представить в виде суммы трех положительных чисел равных 2, 4 и 18 соответственно, удовлетворяющих условию школьной задачи.