Сколько дорог может быть на острове, если каждый из 1000 посёлков соединен дорогами с другими посёлками? Жители каждого

Dmitrievna

55

Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно проанализируем условия. У нас есть 1000 посёлков, и каждый из них имеет дороги, соединяющие его с другими посёлками. Также нам известно, что жители каждого поселка заявили, что из их посёлка есть дороги хотя бы в три других поселка и хотя бы в два поселка лжецов.

Давайте рассмотрим возможные случаи расположения дорог. Если каждый поселок имеет дороги только в три других поселка, то всего будет \(1000 \times 3 = 3000\) дорог.

Теперь рассмотрим случай, когда в каждом поселке есть дороги в три других поселка и дополнительно в два поселка, в которых находятся лжецы. Чтобы минимизировать количество дорог в таком случае, предположим, что лжецы находятся в соседних посёлках. В этом случае каждый поселок будет иметь дороги в два соседних поселка, то есть вместе с тремя другими поселками всего пять дорог. Такое распределение будет наименьшим, потому что если бы мы добавили еще дорогу, это привело бы к увеличению количества дорог.

Таким образом, в наименьшем количестве дорог, находящихся на острове, будет \(1000 \times 5 = 5000\) дорог.

Мы пришли к выводу, что наименьшее количество дорог на острове составляет 5000.