Як можна виразити cos (п+a) за допомогою тригонометричних функцій кута?

Barsik_5094

62

Щоб виразити \(\cos(p+a)\) за допомогою тригонометричних функцій кута, ми можемо скористатися формулою складу косинуса:

\[\cos(p+a) = \cos p \cdot \cos a - \sin p \cdot \sin a\]

Ця формула дозволяє зв"язати косинус суми кутів з косинусами та синусами цих кутів. Давайте подробніше розберемо її вивід.

Спочатку, скористаємося формулою додавання кутів для косинусу:

\[\cos(p+a) = \cos p \cdot \cos a - \sin p \cdot \sin a\]

Цю формулу можна запам"ятати, використовуючи умовні позначення SOSCACHTOA, де:

- S означає "синус";
- O означає "протилежний";
- C означає "косинус";
- A означає "прилеглий";
- H означає "гіпотенуза";
- TOA означає "тангенс".

Згідно зі скороченням, ми можемо розглядати \(\cos(p+a)\) як кут, для якого косинус складається з косинуса кута \(p\) та кута \(a\), якщо \(\cos\) - косинус.

Тепер давайте покажемо це за допомогою геометричного розуміння. Розглянемо проміжну діагональ грамотно чотирикутника ABCD, на якій лежить точка P, де \(D = p+a\). З властивостей косинуса ми знаємо, що \(\cos D\) рівне співвідношенню сторін AB до цієї діагоналі. Відповідно,

\[\cos D = \frac{{AB}}{{PD}}\]

Застосуємо закон косинусів до трикутника BPD:

\[PD^2 = BP^2 + BD^2 - 2BP \cdot BD \cdot \cos B\]

Позначимо \(BP = \sin a\) та \(BD = \sin p\), згідно зі скороченням SOSCACHTOA. Підставимо ці значення:

\[PD^2 = (\sin a)^2 + (\sin p)^2 - 2 \sin a \cdot \sin p \cdot \cos B\]

Враховуючи, що \(cos B = \cos (180^\circ - B)\), а \(p + a = 180^\circ - B\), можемо переписати формулу:

\[PD^2 = (\sin a)^2 + (\sin p)^2 - 2 \sin a \cdot \sin p \cdot \cos (180^\circ - p - a)\]

Тепер, використовуючи формулу додавання косинуса, ми можемо записати:

\[\cos D = \cos (p+a) = \frac{{AB}}{{PD}} = \frac{{2 \sin a \cdot \sin p \cdot \cos (180^\circ - p - a)}}{{(\sin a)^2 + (\sin p)^2 - 2 \sin a \cdot \sin p \cdot \cos (180^\circ - p - a)}}\]

Зверніть увагу, що \(2 \sin a \cdot \sin p\) зявляється у чисельнику та знаменнику, тому ми можемо скоротити їх:

\[\cos (p+a) = \frac{{\sin a \cdot \sin p}}{{\sin a \cdot \sin p - \cos (180^\circ - p - a)}}\]

Отже, ми отримали вираз \(\cos(p+a)\) за допомогою тригонометричних функцій кута. Тепер студент може застосовувати цей вираз у своїх обчисленнях та розв"язуваннях задач, що стосуються суми кутів.