Як можна виразити cos (п+a) за допомогою тригонометричних функцій кута?

Barsik_5094

62

Щоб виразити $\cos (p+a)$ за допомогою тригонометричних функцій кута, ми можемо скористатися формулою складу косинуса:

$$\cos (p+a)=\cos p\cdot \cos a-\sin p\cdot \sin a$$

Ця формула дозволяє зв"язати косинус суми кутів з косинусами та синусами цих кутів. Давайте подробніше розберемо її вивід.

Спочатку, скористаємося формулою додавання кутів для косинусу:

$$\cos (p+a)=\cos p\cdot \cos a-\sin p\cdot \sin a$$

Цю формулу можна запам"ятати, використовуючи умовні позначення SOSCACHTOA, де:

- S означає "синус";
- O означає "протилежний";
- C означає "косинус";
- A означає "прилеглий";
- H означає "гіпотенуза";
- TOA означає "тангенс".

Згідно зі скороченням, ми можемо розглядати $\cos (p+a)$ як кут, для якого косинус складається з косинуса кута $p$ та кута $a$, якщо $\cos$ - косинус.

Тепер давайте покажемо це за допомогою геометричного розуміння. Розглянемо проміжну діагональ грамотно чотирикутника ABCD, на якій лежить точка P, де $D=p+a$. З властивостей косинуса ми знаємо, що $\cos D$ рівне співвідношенню сторін AB до цієї діагоналі. Відповідно,

$$\cos D=\frac{AB}{PD}$$

Застосуємо закон косинусів до трикутника BPD:

$$P{D}^2=B{P}^2+B{D}^2-2BP\cdot BD\cdot \cos B$$

Позначимо $BP=\sin a$ та $BD=\sin p$, згідно зі скороченням SOSCACHTOA. Підставимо ці значення:

$$P{D}^2=(\sin a{)}^2+(\sin p{)}^2-2\sin a\cdot \sin p\cdot \cos B$$

Враховуючи, що $cosB=\cos ({180}^{\circ }-B)$, а $p+a={180}^{\circ }-B$, можемо переписати формулу:

$$P{D}^2=(\sin a{)}^2+(\sin p{)}^2-2\sin a\cdot \sin p\cdot \cos ({180}^{\circ }-p-a)$$

Тепер, використовуючи формулу додавання косинуса, ми можемо записати:

$$\cos D=\cos (p+a)=\frac{AB}{PD}=\frac{2\sin a\cdot \sin p\cdot \cos ({180}^{\circ }-p-a)}{(\sin a{)}^2+(\sin p{)}^2-2\sin a\cdot \sin p\cdot \cos ({180}^{\circ }-p-a)}$$

Зверніть увагу, що $2\sin a\cdot \sin p$ зявляється у чисельнику та знаменнику, тому ми можемо скоротити їх:

$$\cos (p+a)=\frac{\sin a\cdot \sin p}{\sin a\cdot \sin p-\cos ({180}^{\circ }-p-a)}$$

Отже, ми отримали вираз $\cos (p+a)$ за допомогою тригонометричних функцій кута. Тепер студент може застосовувати цей вираз у своїх обчисленнях та розв"язуваннях задач, що стосуються суми кутів.