Як можна виразити вектори ef, fd, de, kd, pe через ветори kd=m, fk=n, які знаходяться у відомості про точку перетину

Яблонька

19

Для начала, давайте разберемся с информацией о соотношениях между отрезками, которые даны в условии задачи.

Из условия известно, что отрезок \(md\) делится отношением 4:9, и отрезок \(kd\) делится отношением \(kd:df\). Кроме того, мы знаем, что \(kd = m\) и \(fk = n\).

Пусть \(ef = x\), \(fd = y\), \(de = z\), \(kd = m\), \(pe = p\).

Мы можем использовать пропорциональность отношений, чтобы выразить \(x\), \(y\), \(z\):

\(\frac{md}{dp} = \frac{4}{9}\) (1)
\(\frac{kd}{df} = \frac{m}{n}\) (2)

Теперь давайте поймем, как связаны эти отношения с векторами, о которых идет речь в задаче.

Мы можем рассмотреть векторное равенство между векторами:

\(\vec{ef} = \vec{ed} + \vec{df}\) (3)

Используя свойства векторов, мы можем записать:

\(\vec{ed} = (\vec{md} + \vec{pe}) - (\vec{mk} + \vec{dp})\) (4)
\(\vec{df} = \vec{fk}\) (5)

Теперь у нас есть все необходимые формулы и равенства, чтобы выразить векторы \(ef\), \(fd\), \(de\), \(kd\), \(pe\) через известные векторы \(kd\), \(fk\).

Давайте начнем с выражения \(\vec{ed}\) через известные векторы:

\(\vec{ed} = (\vec{md} + \vec{pe}) - (\vec{mk} + \vec{dp})\) (4)

Заменяем известные значения \(\vec{mk}\), \(\vec{md}\) и \(\vec{dp}\):

\(\vec{ed} = (\vec{kd} + \vec{pe}) - (\vec{kd} + \frac{9}{13}\vec{kd})\) (используем соотношение из (1))

\(\vec{ed} = \vec{kd} + \vec{pe} - \vec{kd} - \frac{9}{13}\vec{kd}\)

\(\vec{ed} = \vec{pe} - \frac{9}{13}\vec{kd}\)

Теперь, подставим \(\vec{ed}\) из (4) и \(\vec{df}\) из (5) в уравнение (3):

\(\vec{ef} = \vec{ed} + \vec{df}\)

\(\vec{ef} = \vec{pe} - \frac{9}{13}\vec{kd} + \vec{fk}\)

Теперь мы можем записать выражения для векторов \(ef\), \(fd\), \(de\), \(kd\), \(pe\) через известные векторы \(kd\), \(fk\) в условии задачи:

\(\vec{ef} = \vec{pe} - \frac{9}{13}\vec{kd} + \vec{fk}\) (вектор \(ef\) через векторы \(kd\) и \(fk\))

\(\vec{fd} = \vec{fk}\) (вектор \(fd\) через вектор \(fk\))

\(\vec{de} = \vec{pe} - \frac{9}{13}\vec{kd}\) (вектор \(de\) через вектор \(kd\) и \(pe\))

\(\vec{kd} = m\) (вектор \(kd\) через \(m\))

\(\vec{pe} = p\) (вектор \(pe\) через \(p\))

Таким образом, мы выразили векторы \(ef\), \(fd\), \(de\), \(kd\), \(pe\) через известные векторы \(kd\), \(fk\) и значения \(m\), \(n\) из условия задачи, а также использовали информацию о пропорциональности отношений отрезков, чтобы получить эти выражения.