Як обчислити похідну першого порядку від функції y=2x^4-cos(x-1)?

Kristina_1907

6

Щоб обчислити похідну першого порядку від функції \(y = 2x^4 - \cos(x-1)\), ми застосуємо правила диференціювання для кожного доданка окремо.

Почнемо з першого доданка \(2x^4\). Для обчислення похідної від нього застосуємо правило диференціювання степеневої функції. Згідно цього правила, для функції \(f(x) = x^n\) похідна буде \(f"(x) = n \cdot x^{n-1}\). У нашому випадку, \(n = 4\) і ми отримуємо \(f"(x) = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3\).

Тепер перейдемо до другого доданка \(\cos(x-1)\). Для обчислення похідної від нього застосуємо правило диференціювання тригонометричної функції. Згідно цього правила, для функції \(f(x) = \cos(x)\) похідна буде \(-\sin(x)\). Оскільки у нашому випадку аргумент функції - це \(x-1\), ми також враховуємо правило ланцюгового диференціювання. Це означає, що похідна від \(\cos(x-1)\) буде \(-\sin(x-1)\).

Отже, похідна першого порядку від функції \(y = 2x^4 - \cos(x-1)\) дорівнює сумі похідних кожного з доданків:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d(2x^4)}}{{dx}} - \frac{{d(\cos(x-1))}}{{dx}} = 4x^3 - (-\sin(x-1)) = 4x^3 + \sin(x-1)
\]

Таким чином, похідна першого порядку від функції \(y = 2x^4 - \cos(x-1)\) дорівнює \(4x^3 + \sin(x-1)\).

Якщо у вас залишилися будь-які запитання чи потребуються додаткові пояснення, будь ласка, звертайтеся!