Яка найбільша кількість червоних олівців, що може бути в коробці, якщо ймовірність витягнути синій олівець навмання
Яка найбільша кількість червоних олівців, що може бути в коробці, якщо ймовірність витягнути синій олівець навмання більша за 0,4?
Laki 22
Щоб вирішити цю задачу, спочатку розглянемо ситуацію, коли в коробці немає червоних олівців. В такому випадку найбільша кількість червоних олівців, яку можна витягнути, буде рівна 0. Тоді ймовірність витягнути синій олівець буде 1 (так як всі олівці в коробці - сині).Тепер розглянемо ситуацію, коли в коробці є хоча б один червоний олівець. Для максимальної кількості червоних олівців потрібно, щоб кількість синіх олівців була мінімальною.
Позначимо кількість червоних олівців через \(x\), а кількість синіх олівців через \(y\). Тоді загальна кількість олівців в коробці буде рівною \(x + y\).
За умовою задачі, ймовірність витягнути синій олівець навмання більша за 0,4. Математично це можна записати як:
\[\frac{y}{x + y} > 0,4\]
Тепер розв"яжемо це нерівняння:
\[\frac{y}{x + y} > 0,4\]
\[y > 0,4(x + y)\]
\[y > 0,4x + 0,4y\]
\[0,6y > 0,4x\]
\[y > \frac{0,4}{0,6}x\]
\[y > \frac{2}{3}x\]
Тепер розглянемо, як кількість червоних олівців пов"язана з кількістю синіх олівців. Зауважимо, що якщо в коробці є 0 червоних олівців, то кількість синіх олівців буде дорівнювати загальній кількості олівців (\(x + y\)).
Отже, ми маємо систему нерівностей:
\[\begin{cases} y > \frac{2}{3}x \\ x + y > 0 \end{cases}\]
Перше нерівність говорить нам про те, що кількість синіх олівців повинна бути більшою за \(\frac{2}{3}\) кількості червоних олівців.
Друге нерівність говорить нам про те, що загальна кількість олівців в коробці повинна бути більшою за 0, оскільки коробка не може бути порожньою.
Щоб знайти максимальну кількість червоних олівців, яку можливо мати в коробці, ми можемо пробувати різні значення для \(x\) і підставляти їх у першу нерівність. При цьому ми повинні також враховувати другу нерівність.
Наприклад, якщо ми виберемо \(x = 3\), то за першою нерівністю \(y\) повинно бути більше за \(\frac{2}{3} \cdot 3 = 2\). Тоді загальна кількість олівців в коробці \(x + y\) буде рівна 3 + 2 = 5. Згідно другої нерівності, ця кількість повинна бути більшою за 0.
Значення \(x = 3\) і \(y = 2\) задовольняють обидві нерівності і дають нам максимальну кількість червоних олівців в коробці. Тому відповідь на поставлене запитання є: найбільша кількість червоних олівців, що може бути в коробці, - 3.