Як розрахувати площу чотирикутника abcd з координатами його вершин a(-2; 2), b(0; 4), c(2; 2), d(0

Yuzhanka

41

Для расчета площади четырехугольника ABCD с координатами его вершин A(-2, 2), B(0, 4), C(2, 2) и D(0, 0) нам потребуется использовать формулу площади, основанную на координатах вершин фигуры.

В данном случае, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, мы можем разбить его на два треугольника (например, треугольник ABC и треугольник ACD) и затем сложить площади этих двух треугольников.

Шаг 1: Найдем длины сторон ABCD
Мы можем использовать формулу нахождения расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

\[d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}\]

Используя эту формулу, мы можем найти длины всех сторон ABCD:

Сторона AB: \(d_{AB} = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (4 - 2)^2}\)
Сторона AC: \(d_{AC} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 2)^2}\)
Сторона CD: \(d_{CD} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2}\)
Сторона AD: \(d_{AD} = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (2 - 0)^2}\)

Шаг 2: Найдем площади треугольников ABC и ACD
Для этого мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника по длинам его сторон:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\) и \(c\) - длины его сторон.

Для треугольника ABC с полупериметром \(p_{ABC} = \frac{{d_{AB} + d_{AC} + d_{BC}}}{2}\), где \(d_{BC}\) - длина стороны BC, площадь будет равна:

\[S_{ABC} = \sqrt{p_{ABC} \cdot (p_{ABC} - d_{AB}) \cdot (p_{ABC} - d_{AC}) \cdot (p_{ABC} - d_{BC})}\]

А для треугольника ACD с полупериметром \(p_{ACD} = \frac{{d_{AC} + d_{CD} + d_{AD}}}{2}\) и длиной стороны AD, площадь будет равна:

\[S_{ACD} = \sqrt{p_{ACD} \cdot (p_{ACD} - d_{AC}) \cdot (p_{ACD} - d_{CD}) \cdot (p_{ACD} - d_{AD})}\]

Шаг 3: Найдем общую площадь четырехугольника ABCD
Для этого мы просто сложим площади треугольников ABC и ACD:

\[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}\]

Теперь мы можем подставить известные значения и вычислить площадь:

\(d_{AB} = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)
\(d_{AC} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4\)
\(d_{CD} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)
\(d_{AD} = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)

\(p_{ABC} = \frac{{\sqrt{8} + 4 + \sqrt{8}}}{2} = \frac{{4 + 4\sqrt{2}}}{2} = 2 + 2\sqrt{2}\)

\(p_{ACD} = \frac{{4 + \sqrt{8} + \sqrt{8}}}{2} = \frac{{4 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}}{2} = 2 + 2\sqrt{2}\)

\(S_{ABC} = \sqrt{(2 + 2\sqrt{2}) \cdot (2 + 2\sqrt{2} - \sqrt{8}) \cdot (2 + 2\sqrt{2} - 4) \cdot (\sqrt{8})}\)

\(S_{ACD} = \sqrt{(2 + 2\sqrt{2}) \cdot (2 + 2\sqrt{2} - 4) \cdot (2 + 2\sqrt{2} - \sqrt{8}) \cdot (\sqrt{8})}\)

\(S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}\)