Як записати рівняння прямої, яка містить середню лінію трикутника ABC і паралельна стороні AC, знаючи координати точок

Barsik

20

Для нашого завдання, спочатку нам потрібно знайти середню лінію трикутника ABC. Середня лінія є лінією, яка проходить через середини двох сторін трикутника.

Координати точок A(-1,1), B(1,3) та C(5,-3) надаються. Щоб знайти координати середини сторони, ми можемо застосувати формулу:
\[x_{mid} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}, \quad y_{mid} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

Давайте знайдемо першу середину сторони BC:

\[x_{BC_{mid}} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3, \quad y_{BC_{mid}} = \frac{{3 + (-3)}}{2} = 0\]

Отже, координати першої середини сторони BC дорівнюють (3, 0).

Тепер, ми повинні знайти другу середину сторони AC:

\[x_{AC_{mid}} = \frac{{-1 + 5}}{2} = 2, \quad y_{AC_{mid}} = \frac{{1 + (-3)}}{2} = -1\]

Отже, координати другої середини сторони AC дорівнюють (2, -1).

Тепер, ми можемо скласти рівняння прямої, яка проходить через середню лінію та паралельна до сторони AC. Для цього, нам потрібно знайти коефіцієнт наклона цієї прямої.

Коефіцієнт наклона прямої можна знайти, використовуючи формулу:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Для нашого випадку, ми виберемо точки першої середини сторони BC (3, 0) та другої середини сторони AC (2, -1):

\[m = \frac{{-1 - 0}}{{2 - 3}} = 1\]

Таким чином, коефіцієнт наклона прямої дорівнює 1.

Тепер, ми знаємо коефіцієнт наклона прямої (m = 1) та одну з точок, через яку пряма проходить - другу середину сторони AC (2, -1). Для побудови рівняння прямої, ми можемо використати формулу:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

Підставимо відомі значення:

\[y + 1 = 1 \cdot (x - 2)\]

Розгорнемо це рівняння:
\[y + 1 = x - 2\]

Та перенесемо \(x\) та 1 на ліву сторону, а \(y\) на праву сторону:
\[x - y = 3\]

Отже, рівняння прямої, яка містить середню лінію трикутника ABC та паралельна до сторони AC, має вигляд \(x - y = 3\).