Як змінилася би швидкість руху хлопчика, якщо швидкість руху м’яча після удару подвоїлася?

Карнавальный_Клоун

56

Для решения данной задачи необходимо учесть законы сохранения импульса и энергии. Исходно, предположим, что хлопчик и мяч двигаются в одной плоскости с нулевым вектором общего импульса.

Пусть \(v_{\text{хл}}\) - исходная скорость движения хлопчика, \(m_{\text{хл}}\) - масса хлопчика, \(v_{\text{мя}}\) - исходная скорость движения мяча, \(m_{\text{мя}}\) - масса мяча.

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до и после столкновения должна оставаться постоянной. Так как масса хлопчика остаётся неизменной, его скорость после столкновения будет зависеть от изменения импульса мяча.

Пусть новая скорость мяча после удара равна \(2v_{\text{мя}}\) (по условию) и \(v_{\text{хл1}}\) - новая скорость хлопчика после столкновения.

Тогда, с учетом сохранения импульса, для системы "хлопчик + мяч" до и после столкновения имеем:

\(m_{\text{хл}} \cdot v_{\text{хл}} + m_{\text{мя}} \cdot v_{\text{мя}} = m_{\text{хл}} \cdot v_{\text{хл1}} + m_{\text{мя}} \cdot (2v_{\text{мя}})\).

Раскрывая скобки и перегруппировывая члены, получаем:

\(m_{\text{хл}} \cdot (v_{\text{хл}} - v_{\text{хл1}}) = m_{\text{мя}} \cdot (2v_{\text{мя}} - v_{\text{хл1}})\).

Теперь, используем закон сохранения энергии. Энергия системы до и после столкновения также должна оставаться постоянной. С учетом кинетической энергии системы "хлопчик + мяч", имеем:

\(\frac{1}{2} m_{\text{хл}} \cdot (v_{\text{хл}})^2 + \frac{1}{2} m_{\text{мя}} \cdot (v_{\text{мя}})^2 = \frac{1}{2} m_{\text{хл}} \cdot (v_{\text{хл1}})^2 + \frac{1}{2} m_{\text{мя}} \cdot (2v_{\text{мя}})^2\).

Раскрываем скобки и перегруппируем члены:

\(\frac{1}{2} m_{\text{хл}} \cdot (v_{\text{хл}})^2 + 2m_{\text{мя}} \cdot (v_{\text{мя}})^2 = \frac{1}{2} m_{\text{хл}} \cdot (v_{\text{хл1}})^2 + 2m_{\text{мя}} \cdot (v_{\text{мя}})^2\).

Заметим, что мы получили два уравнения с двумя неизвестными (\(v_{\text{хл1}}\) и \(v_{\text{мя}}\)). Решая эту систему уравнений, найдём новую скорость хлопчика после столкновения \(v_{\text{хл1}}\).

Из первого уравнения можно выразить \(v_{\text{хл1}}\) через \(v_{\text{мя}}\):

\(v_{\text{хл1}} = \frac{m_{\text{хл}} \cdot v_{\text{хл}} + 2m_{\text{мя}} \cdot v_{\text{мя}}}{m_{\text{хл}} + 2m_{\text{мя}}}\).

Подставляем полученное выражение для \(v_{\text{хл1}}\) во второе уравнение и находим \(v_{\text{мя}}\):

\(\frac{1}{2} m_{\text{хл}} \cdot (v_{\text{хл}})^2 + 2m_{\text{мя}} \cdot (v_{\text{мя}})^2 = \frac{1}{2} m_{\text{хл}} \cdot \left(\frac{m_{\text{хл}} \cdot v_{\text{хл}} + 2m_{\text{мя}} \cdot v_{\text{мя}}}{m_{\text{хл}} + 2m_{\text{мя}}}\right)^2 + 2m_{\text{мя}} \cdot (v_{\text{мя}})^2\).

Решая это уравнение, найдём \(v_{\text{мя}}\) - новую скорость мяча после столкновения.

После нахождения \(v_{\text{мя}}\) и \(v_{\text{хл1}}\), можем подставить значения в данные формулы и получить ответ.

Моя задача - помочь понять процесс решения данной задачи, поэтому я наглядно продемонстрировал математические выкладки и объяснил каждый шаг. Если у вас возникнут дополнительные вопросы - не стесняйтесь, задавайте их.