Як знайти найбільше значення функції f(x) = x3 + 3x2 - 72x + 90 на інтервалі від -5

Звездопад

10

Для находження найбільшого значення функції \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 72x + 90\) на заданому інтервалі \([-5, b]\), спочатку потрібно знайти критичні точки функції. Критичні точки - це ті значення \(x\), де похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Отже, почнемо з обчислення похідної функції \(f"(x)\).

\[f"(x) = \frac{d}{dx} (x^3 + 3x^2 - 72x + 90)\]

Застосуємо правила диференціювання для кожного з членів цієї функції:

\[f"(x) = 3x^2 + 6x - 72\]

Тепер, розв"яжемо рівняння \(3x^2 + 6x - 72 = 0\) щоб знайти критичні точки.

Спочатку, спробуємо спростити рівняння, поділивши всі члени на 3:

\[x^2 + 2x - 24 = 0\]

Тепер, спробуємо розкласти це квадратне рівняння на множники.

\[x^2 + 2x - 24 = (x - 4)(x + 6) = 0\]

Тому, ми маємо дві критичні точки: \(x = 4\) і \(x = -6\). Для зручності, позначимо їх як \(x_1\) і \(x_2\) відповідно.

Тепер, ми повинні порівняти значення функції \(f(x)\) на обох кінцях заданого інтервалу та в критичних точках, щоб знайти найбільше значення.

1. Підставимо \(x = -5\):
\[f(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 72(-5) + 90 = -155\]

2. Підставимо \(x = x_1 = 4\):
\[f(x_1) = (4)^3 + 3(4)^2 - 72(4) + 90 = -86\]

3. Підставимо \(x = x_2 = -6\):
\[f(x_2) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 72(-6) + 90 = 246\]

Тепер, визначимо яке з цих значень є найбільшим.

Ми бачимо, що найбільше значення функції \(f(x)\) на інтервалі від -5 до \(b\) буде \(246\), яке відповідає точці \(x = -6\).

Отже, найбільше значення функції \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 72x + 90\) на інтервалі від -5 до \(b\) дорівнює \(246\) і досягається при \(x = -6\).