Яка буде об єм тіла, утвореного обертанням прямокутного трикутника з катетом довжиною 8 см та площею 24 см² навколо

Морской_Сказочник

47

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем высоту треугольника.
Мы знаем площадь треугольника (24 см²) и один из его катетов (8 см). Пользуясь формулой для площади треугольника, можем найти высоту треугольника: \[S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]
Подставляя значения, получаем: \[24 = \frac{1}{2} \times 8 \times \text{высота}\]
Упростим выражение: \(24 = 4 \cdot \text{высота}\)
Выразим высоту: \(\text{высота} = \frac{24}{4} = 6 \, \text{см}\)

Шаг 2: Найдем длину основания треугольника.
Мы знаем площадь треугольника (24 см²) и один из его катетов (8 см). Пользуясь формулой для площади треугольника, можно выразить длину основания: \[24 = \frac{1}{2} \times \text{длина основания} \times 6\]
Упростим выражение: \(24 = 3 \times \text{длина основания}\)
Выразим длину основания: \(\text{длина основания} = \frac{24}{3} = 8 \, \text{см}\)

Шаг 3: Найдем длину окружности.
Для нахождения объема тела, сгенерированного вращением треугольника, нам нужно знать длину окружности вокруг прямой, параллельной одному из катетов, проходящей через вершину большего острого угла треугольника. Длина окружности можно найти, зная радиус.

Радиус окружности - это длина основания треугольника. Таким образом, радиус равен 8 см.

Длина окружности вычисляется по формуле: \[L = 2 \pi R\], где \(L\) - длина окружности, \(\pi\) - математическая константа, равная примерно 3.14159, \(R\) - радиус окружности.

Подставляя значения в формулу, получаем: \[L = 2 \pi \times 8 = 16 \pi \, \text{см}\]

Шаг 4: Найдем объем тела, образованного вращением треугольника.
Объем тела, полученного вращением треугольника вокруг прямой, параллельной одному из катетов и проходящей через вершину большого острого угла треугольника, можно вычислить по формуле: \[V = \frac{1}{3} \times S \times L\], где \(V\) - объем тела, \(S\) - площадь основания тела (площадь треугольника), \(L\) - длина окружности.

Подставляя значения, получаем: \[V = \frac{1}{3} \times 24 \times 16 \pi = \frac{384}{3} \pi = 128 \pi \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем тела, образованного вращением прямоугольного треугольника с катетом длиной 8 см и площадью 24 см² вокруг указанной прямой, составляет 128π см³.