Яка довжина діаметра кола, якщо точка K дотикається до кола з центром O, а кут КАО дорівнює 45°, а відрізок

Летучая_Мышь_2077

56

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать геометрические свойства круга.

Обозначим длину диаметра кола через \(d\).

Так как точка \(K\) является точкой касания между кругом и отрезком \(KA\), то отрезок \(KO\) будет являться радиусом круга. Обозначим его длину через \(r\).

Из геометрических свойств круга, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.
Поэтому у нас образован прямоугольный треугольник \(KAO\), где \(KO\) - это гипотенуза, а \(KA\) и \(AO\) - катеты.

Из условия задачи мы знаем, что угол \(KAO\) равен 45°.

Теперь мы можем использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти значение радиуса \(r\) через длину отрезка \(KA\).

В прямоугольном треугольнике \(KAO\) у нас есть следующие соотношения:
\[\sin(\angle KAO) = \frac{{KA}}{{KO}}\]

Угол \(KAO\) равен 45°, поэтому \(\sin(45°)\) равен \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).

Подставим известные значения в уравнение:
\[\frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = \frac{{KA}}{{r}}\]

Преобразуем уравнение, чтобы выразить \(r\):
\[r = \frac{{KA}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}}} = KA \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{2}}} = KA \cdot \sqrt{2}\]

Таким образом, радиус круга, \(r\), равен произведению длины отрезка \(KA\) на \(\sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти длину диаметра кола, мы можем умножить радиус на 2:
\[d = 2 \cdot r = 2 \cdot (KA \cdot \sqrt{2})\]

Завершая решение задачи, можем сказать, что длина диаметра кола равна удвоенному значению радиуса и выражается через длину отрезка \(KA\) следующим образом:
\[d = 2 \cdot (KA \cdot \sqrt{2})\]