Яка довжина осьового перерізу циліндра, який має діагональ довжиною 12 см і формує кут 45° з площиною нижньої основи?

Luna_635

55

Щоб знайти довжину осьового перерізу циліндра, спочатку розглянемо зразковий осьовий переріз. Він є колом з радіусом \(r\) і центром \(O\). Діагональ \(AB\) цього осьового перерізу має довжину \(d\) і утворює кут \(\alpha\) з площиною основи.



Ми можемо розділити діагональ на дві гілки, \(AC\) і \(CB\), де \(AC\) є висотою осьового перерізу, а \(CB\) є радіус-вектором \(OB\). З малюнку видно, що \(AC\) є гіпотенузою прямокутного трикутника \(ACO\).

Тепер, знаючи значення діагоналі \(d = 12\) см і куту \(\alpha = 45^\circ\), ми можемо використовувати тригонометрію для знаходження значення висоти \(AC\) і радіус-вектора \(CB\).

Висоту \(AC\) можна знайти за теоремою синусів:
\[\sin(\alpha) = \frac{{AC}}{{d}}\]

Підставляючи відомі значення, отримаємо:
\[\sin(45^\circ) = \frac{{AC}}{{12}}\]

Розраховуючи це, ми отримуємо:
\[AC = 12 \cdot \sin(45^\circ)\]

Тепер, знаючи висоту \(AC\), ми можемо знайти радіус-вектор \(CB\) за теоремою косинусів:
\[\cos(\alpha) = \frac{{CB}}{{d}}\]

Підставляючи відомі значення, отримаємо:
\[\cos(45^\circ) = \frac{{CB}}{{12}}\]

Розраховуючи це, ми отримуємо:
\[CB = 12 \cdot \cos(45^\circ)\]

Отже, довжина осьового перерізу циліндра складається з суми висоти \(AC\) і радіус-вектора \(CB\):
Довжина осьового перерізу циліндра = \(AC + CB\)

Зараз розглянемо об"єм циліндра. Об"єм циліндра можна обчислити за формулою:
\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Де \(r\) - радіус циліндра, а \(h\) - висота. Знаючи, що радіус-вектор \(CB\) є радіусом циліндра, а \(AC\) є висотою осьового перерізу, ми можемо підставити ці значення у формулу, щоб отримати об"єм циліндра.

Також, щоб знайти площу бічної поверхні циліндра, ми можемо використовувати формулу:
\[S_{\text{біч}} = 2 \pi r \cdot h\]

Знову ж таки, застосувавши значення \(CB\) як радіус і \(AC\) як висоту, ми можемо знайти площу бічної поверхні циліндра.

Тепер, я виконаю обчислення. Будь ласка, зачекайте трохи.