Яка довжина середньої лінії рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, якщо бічна сторона цієї трапеції дорівнює

Евгения

18

Давайте рассмотрим эту задачу пошагово для лучшего понимания.

1. Начнем с того, что рассмотрим рисунок и обозначим известные элементы. У нас есть рисунок с окружностью, вокруг которой описана равнобедренная трапеция (ABCD). Для упрощения обозначений, назовем точку пересечения диагоналей трапеции - точка О.

2. Вам известно, что боковая сторона трапеции (AD) имеет заданную длину. Обозначим ее как a. Также, по свойствам равнобедренной трапеции, вы знаете, что боковые стороны (AB и CD) равны. Обозначим их как b.

3. В задаче требуется найти длину средней линии, то есть длину отрезка ОМ на рисунке. Для этого нужно использовать свойство равнобедренной трапеции.

4. Заметим, что средняя линия трапеции (ОМ) является высотой треугольника ODC, так как треугольник ODC прямоугольный и одна из его сторон является диаметром окружности (OC).

5. Чтобы найти длину средней линии (ОМ), воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ODC. Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катеты - это половина боковой стороны трапеции (OD и DC), а гипотенуза - это диаметр окружности (OC).

6. Таким образом, мы можем записать уравнение в следующем виде:
\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = OC^2\]

7. Для упрощения расчетов, заменим OC диаметром окружности на 2r, где r - радиус окружности.

8. Подставив это в уравнение, получим:
\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = (2r)^2\]

9. После раскрытия скобок и упрощения уравнения, получим:
\[\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = 4r^2\]

10. Теперь, чтобы найти длину средней линии (ОМ), нужно найти значение OC, которое является гипотенузой треугольника OMD, и затем поделить его пополам.

11. Из уравнения в пункте 9, мы можем выразить значение OC:
\[OC = 2r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}}\]

12. Теперь, чтобы найти длину средней линии (ОМ), нужно разделить OC на 2:
\[OM = \frac{OC}{2} = \frac{\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}}}{2}\]

Таким образом, мы получили выражение для длины средней линии (ОМ) равнобедренной трапеции, описанной вокруг окружности, в зависимости от длин боковой стороны. Вы можете подставить известные значения a и b в это выражение, чтобы найти точное численное значение длины средней линии.