Яка довжина сторін прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 13 см, а площа - 60 см квадратних? Розрахуйте периметр

Лия

14

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы для нахождения длины сторон прямоугольника по диагонали и площади.
Итак, пусть длина прямоугольника будет равна \(a\) см, а ширина - \(b\) см.

Сначала найдем длину стороны прямоугольника по диагонали.
Известно, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его стороны - катетами.
Используя теорему Пифагора, можем записать:
\[a^2 + b^2 = 13^2\] \[(1)\]

Затем найдем площадь прямоугольника.
Формула для площади прямоугольника - это произведение его длины и ширины:
\[S = a \cdot b = 60\] \[(2)\]

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), которые мы можем решить для нахождения значений \(a\) и \(b\).

Мы можем решить систему уравнений, выразив одну из переменных из одного уравнения и подставив ее в другое.
Например, из уравнения (2) можно выразить одну из переменных, скажем, \(a\) через другую:
\[a = \frac{60}{b}\] \[(3)\]

Теперь подставим выражение (3) в уравнение (1):
\[\left(\frac{60}{b}\right)^2 + b^2 = 13^2\]

Решим данное уравнение. Выполним возведение в квадрат и приведем подобные члены:

\[\frac{3600}{b^2} + b^2 = 169\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[\frac{3600}{b^2} + b^2 - 169 = 0\]

Умножим обе части уравнения на \(b^2\) для упрощения:

\[3600 + b^4 - 169b^2 = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной \(b\).
Решим его с помощью подходящих методов решения квадратных уравнений.

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной \(b^2\), поэтому предлагаю ввести новую переменную \(x = b^2\). Тогда уравнение приобретет вид:

\[x^2 - 169x + 3600 = 0\]

Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного уравнения.

Разложим полученное квадратное уравнение:
\[(x - 40)(x - 90) = 0\]

Теперь найдем значения переменной \(x\):
\(x - 40 = 0 \Rightarrow x = 40\) или \(x - 90 = 0 \Rightarrow x = 90\)

Перенесем эти значения обратно в исходное уравнение, чтобы найти значения переменной \(b^2\):

1) Подставим \(x = 40\) в \(b^2\):
\[b^2 = 40\]

2) Подставим \(x = 90\) в \(b^2\):
\[b^2 = 90\]

Теперь возьмем квадратный корень от обоих выражений, чтобы найти значения переменной \(b\):

1) При \(b^2 = 40\), \(b = \sqrt{40}\) или примерно \(b \approx 6,324\).

2) При \(b^2 = 90\), \(b = \sqrt{90}\) или примерно \(b \approx 9,49\).

Таким образом, мы получили два возможных значения для ширины прямоугольника (\(b\)): примерно 6,324 см и примерно 9,49 см.

Так как у нас есть два значения для \(b\), значит, у нас будет два соответствующих значения для \(a\).

Используя формулу (3) и найденные значения \(b\), мы можем найти значения \(a\):

1) При \(b \approx 6,324\):
\[a \approx \frac{60}{6,324} \approx 9,486\]

2) При \(b \approx 9,49\):
\[a \approx \frac{60}{9,49} \approx 6,324\]

Таким образом, мы получили две пары длин сторон прямоугольника (\(a\) и \(b\)): примерно 9,486 см и примерно 6,324 см, или примерно 6,324 см и примерно 9,49 см.

Наконец, чтобы найти периметр прямоугольника, нужно просуммировать все его стороны:
Для первой пары длин сторон (9,486 см и 6,324 см):
\[P = 2a + 2b = 2 \cdot 9,486 + 2 \cdot 6,324 \approx 23,796 + 12,648 \approx 36,444 \, \text{см}\]

Для второй пары длин сторон (6,324 см и 9,49 см):
\[P = 2a + 2b = 2 \cdot 6,324 + 2 \cdot 9,49 \approx 12,648 + 18,98 \approx 31,628 \, \text{см}\]

Таким образом, получаем, что периметр данного прямоугольника может составлять около 36,444 см или около 31,628 см, в зависимости от значений сторон прямоугольника.