Яка довжина сторін прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 13 см, а площа - 60 см квадратних? Розрахуйте периметр

Лия

14

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы для нахождения длины сторон прямоугольника по диагонали и площади.
Итак, пусть длина прямоугольника будет равна $a$ см, а ширина - $b$ см.

Сначала найдем длину стороны прямоугольника по диагонали.
Известно, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его стороны - катетами.
Используя теорему Пифагора, можем записать:
$$a^2+b^2={13}^2$$ $$(1)$$

Затем найдем площадь прямоугольника.
Формула для площади прямоугольника - это произведение его длины и ширины:
$$S=a\cdot b=60$$ $$(2)$$

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), которые мы можем решить для нахождения значений $a$ и $b$.

Мы можем решить систему уравнений, выразив одну из переменных из одного уравнения и подставив ее в другое.
Например, из уравнения (2) можно выразить одну из переменных, скажем, $a$ через другую:
$$a=\frac{60}{b}$$ $$(3)$$

Теперь подставим выражение (3) в уравнение (1):
$${\left(\frac{60}{b}\right)}^2+b^2={13}^2$$

Решим данное уравнение. Выполним возведение в квадрат и приведем подобные члены:

$$\frac{3600}{b^2}+b^2=169$$

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

$$\frac{3600}{b^2}+b^2-169=0$$

Умножим обе части уравнения на $b^2$ для упрощения:

$$3600+b^4-169b^2=0$$

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной $b$.
Решим его с помощью подходящих методов решения квадратных уравнений.

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной $b^2$, поэтому предлагаю ввести новую переменную $x=b^2$. Тогда уравнение приобретет вид:

$$x^2-169x+3600=0$$

Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного уравнения.

Разложим полученное квадратное уравнение:
$$(x-40)(x-90)=0$$

Теперь найдем значения переменной $x$:
$x-40=0\Rightarrow x=40$ или $x-90=0\Rightarrow x=90$

Перенесем эти значения обратно в исходное уравнение, чтобы найти значения переменной $b^2$:

1) Подставим $x=40$ в $b^2$:
$$b^2=40$$

2) Подставим $x=90$ в $b^2$:
$$b^2=90$$

Теперь возьмем квадратный корень от обоих выражений, чтобы найти значения переменной $b$:

1) При $b^2=40$, $b=\sqrt{40}$ или примерно $b\approx 6,324$.

2) При $b^2=90$, $b=\sqrt{90}$ или примерно $b\approx 9,49$.

Таким образом, мы получили два возможных значения для ширины прямоугольника ($b$): примерно 6,324 см и примерно 9,49 см.

Так как у нас есть два значения для $b$, значит, у нас будет два соответствующих значения для $a$.

Используя формулу (3) и найденные значения $b$, мы можем найти значения $a$:

1) При $b\approx 6,324$:
$$a\approx \frac{60}{6,324}\approx 9,486$$

2) При $b\approx 9,49$:
$$a\approx \frac{60}{9,49}\approx 6,324$$

Таким образом, мы получили две пары длин сторон прямоугольника ($a$ и $b$): примерно 9,486 см и примерно 6,324 см, или примерно 6,324 см и примерно 9,49 см.

Наконец, чтобы найти периметр прямоугольника, нужно просуммировать все его стороны:
Для первой пары длин сторон (9,486 см и 6,324 см):
$$P=2a+2b=2\cdot 9,486+2\cdot 6,324\approx 23,796+12,648\approx 36,444\text{см}$$

Для второй пары длин сторон (6,324 см и 9,49 см):
$$P=2a+2b=2\cdot 6,324+2\cdot 9,49\approx 12,648+18,98\approx 31,628\text{см}$$

Таким образом, получаем, что периметр данного прямоугольника может составлять около 36,444 см или около 31,628 см, в зависимости от значений сторон прямоугольника.