Яка довжина сторін прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 13 см, а площа - 60 см квадратних? Розрахуйте периметр

  • 22
Яка довжина сторін прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 13 см, а площа - 60 см квадратних? Розрахуйте периметр прямокутника.
Лия
14
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы для нахождения длины сторон прямоугольника по диагонали и площади.
Итак, пусть длина прямоугольника будет равна a см, а ширина - b см.

Сначала найдем длину стороны прямоугольника по диагонали.
Известно, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его стороны - катетами.
Используя теорему Пифагора, можем записать:
a2+b2=132 (1)

Затем найдем площадь прямоугольника.
Формула для площади прямоугольника - это произведение его длины и ширины:
S=ab=60 (2)

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), которые мы можем решить для нахождения значений a и b.

Мы можем решить систему уравнений, выразив одну из переменных из одного уравнения и подставив ее в другое.
Например, из уравнения (2) можно выразить одну из переменных, скажем, a через другую:
a=60b (3)

Теперь подставим выражение (3) в уравнение (1):
(60b)2+b2=132

Решим данное уравнение. Выполним возведение в квадрат и приведем подобные члены:

3600b2+b2=169

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

3600b2+b2169=0

Умножим обе части уравнения на b2 для упрощения:

3600+b4169b2=0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной b.
Решим его с помощью подходящих методов решения квадратных уравнений.

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной b2, поэтому предлагаю ввести новую переменную x=b2. Тогда уравнение приобретет вид:

x2169x+3600=0

Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного уравнения.

Разложим полученное квадратное уравнение:
(x40)(x90)=0

Теперь найдем значения переменной x:
x40=0x=40 или x90=0x=90

Перенесем эти значения обратно в исходное уравнение, чтобы найти значения переменной b2:

1) Подставим x=40 в b2:
b2=40

2) Подставим x=90 в b2:
b2=90

Теперь возьмем квадратный корень от обоих выражений, чтобы найти значения переменной b:

1) При b2=40, b=40 или примерно b6,324.

2) При b2=90, b=90 или примерно b9,49.

Таким образом, мы получили два возможных значения для ширины прямоугольника (b): примерно 6,324 см и примерно 9,49 см.

Так как у нас есть два значения для b, значит, у нас будет два соответствующих значения для a.

Используя формулу (3) и найденные значения b, мы можем найти значения a:

1) При b6,324:
a606,3249,486

2) При b9,49:
a609,496,324

Таким образом, мы получили две пары длин сторон прямоугольника (a и b): примерно 9,486 см и примерно 6,324 см, или примерно 6,324 см и примерно 9,49 см.

Наконец, чтобы найти периметр прямоугольника, нужно просуммировать все его стороны:
Для первой пары длин сторон (9,486 см и 6,324 см):
P=2a+2b=29,486+26,32423,796+12,64836,444см

Для второй пары длин сторон (6,324 см и 9,49 см):
P=2a+2b=26,324+29,4912,648+18,9831,628см

Таким образом, получаем, что периметр данного прямоугольника может составлять около 36,444 см или около 31,628 см, в зависимости от значений сторон прямоугольника.