Яка довжина сторони правильного шестикутника, описаного навколо кола, яке має радіус

Krasavchik

37

Чтобы определить длину стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, нужно использовать свойства геометрии. Для начала, давайте рассмотрим некоторые основные концепции.

Правильный шестиугольник - это фигура, у которой все стороны равны между собой и все углы тоже равны. Он также известен как правильный шестиугольник.

Окружность - это фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленных от центра. Радиус окружности - это расстояние от центра окружности до любой ее точки.

Давайте обозначим радиус окружности как \(r\). Нам дано, что шестиугольник описан вокруг этой окружности. Это означает, что все вершины шестиугольника лежат на окружности, и расстояние от центра окружности до любой вершины шестиугольника равно радиусу.

Теперь давайте рассмотрим процесс построения шестиугольника. Поскольку каждая вершина шестиугольника расположена на окружности, можно провести линии от центра окружности до каждой вершины шестиугольника. Эти линии будут радиусами окружности и также будут являться сторонами шестиугольника.

Изобразим это на рисунке:

\[
\[
\begin{array}{cccccc}
& & \bullet & & \\
& \bullet & & \bullet & \\
\bullet & & \circ & & \bullet \\
& \bullet & & \bullet & \\
& & \bullet & & \\
\end{array}
\]
\]

Где \(\circ\) обозначает центр окружности, а \(\bullet\) обозначает вершины шестиугольника.

Теперь, у нас есть шестиугольник, который состоит из шести равных радиусов окружности. Давайте обозначим длину стороны шестиугольника как \(s\).

Из рисунка видно, что полный оборот вокруг окружности составляет \(360^\circ\) (градусов), и эти \(360^\circ\) равномерно распределены между шести вершинами шестиугольника. Поэтому каждый угол внутри шестиугольника равен \(\frac{{360^\circ}}{{6}} = 60^\circ\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник со стороной \(s\) и углом \(60^\circ\). Мы можем использовать тригонометрию и свойства треугольников для определения длины стороны \(s\).

Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением для треугольников с равными углами:
\[\frac{{\text{{длина противоположной стороны}}}}{{\text{{длина гипотенузы}}}} = \frac{{\text{{длина смежной стороны}}}}{{\text{{длина основания}}}}\]

Для нашего треугольника длина противоположной стороны равна \(s\), длина основания равна \(r\) (радиус окружности), а длина гипотенузы равна \(2r\) (двойной радиус окружности, так как это диаметр).

Таким образом, у нас есть:
\[\frac{s}{{2r}}=\frac{\text{{длина смежной стороны}}}{r}\]

Упростим это соотношение:
\[s=2r\cdot\frac{{\text{{длина смежной стороны}}}}{r}\]

Итак, длина стороны шестиугольника равна \(s = 2r\cdot\frac{{\text{{длина смежной стороны}}}}{r}\).

Теперь нам нужно определить длину смежной стороны треугольника. Мы можем использовать те же принципы для этого.

Внутри правильного шестиугольника есть треугольники, образованные двумя радиусами и одной из его сторон. Эти треугольники являются равнобедренными треугольниками, так как две его стороны (равные радиусы) равны друг другу.

Следовательно, длина смежной стороны такого равнобедренного треугольника равна:
\[\text{{длина смежной стороны}} = 2r\cdot\sin(30^\circ)\]

где \(\sin(30^\circ)\) - это синус угла \(30^\circ\).

Если задача просит определить длину стороны шестиугольника точно, давайте используем точное значение синуса \(30^\circ\):
\[\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\]

Теперь, мы можем подставить это значение обратно в наше уравнение для \(s\) и упростить его:
\[s = 2r\cdot\frac{2r\cdot\sin(30^\circ)}{r}\]

\[s = 4r\cdot\sin(30^\circ)\]

\[s = 4r\cdot\frac{1}{2}\]

\[s = 2r\]

Таким образом, длина стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, равна \(2r\), где \(r\) - это радиус окружности.