Яка довжина сторони правильного шестикутника, який описаний навколо кола, в яке вписаний правильний трикутник довжиною

Морж

67

Для решения данной задачи нам понадобится применить некоторые свойства правильных многоугольников и окружностей.

Во-первых, если у нас есть правильный треугольник, то все его стороны равны, и все его углы тоже равны 60 градусов.

Во-вторых, вписанный правильный треугольник можно найти, разделив окружность на три равные дуги, каждая из которых равна 120 градусам.

Теперь рассмотрим задачу более подробно. Пусть \(R\) - радиус описанной окружности, а \(r\) - радиус вписанной окружности (окружности, внутри которой находится треугольник).

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. В каждом из этих треугольников одна сторона будет являться радиусом описанной окружности \(R\), а другие две стороны будут являться радиусами вписанной окружности \(r\).

Вспомним свойство равностороннего треугольника: все его стороны равны. Таким образом, в одном из равносторонних треугольников, составляющих шестиугольник, сторона равна радиусу описанной окружности \(R\), а другие две стороны равны радиусу вписанной окружности \(r\).

Давайте выразим сторону равностороннего треугольника через радиусы описанной и вписанной окружностей. Обозначим сторону треугольника как \(a\).

Исходя из свойств правильного треугольника, сторона treugolnika равна \(a = 2r\).

Теперь у нас есть равенство между длинами стороны треугольника и радиусом вписанной окружности. Нам также известно, что радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности через формулу Эйлера: \(r = R/2\).

Подставим это значение \(r\) в равенство \(a = 2r\), чтобы выразить сторону \(a\) через радиус описанной окружности \(R\):

\(a = 2 \cdot (R/2) = R\).

Таким образом, мы получили, что сторона треугольника равна радиусу описанной окружности \(R\).

Возвращаясь к нашей задаче, мы ищем длину стороны прямоугольного шестиугольника, описанного около окружности, в которой вписан правильный треугольник со стороной \(R\).

Следовательно, длина стороны прямоугольного шестиугольника равна радиусу описанной окружности \(R\). Ответ: длина стороны правильного шестиугольника равна \(R\).