Яка довжина сторони трикутника, якщо прилеглі до неї кути становлять 63° і 72°? Існує коло, яке описує цей трикутник

Yaschik

22

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся знания о свойствах треугольников и окружностей. Давайте начнем с определения некоторых важных понятий.

1. Косинусы углов треугольника: Пусть у нас есть треугольник ABC, где углы A, B и C соответственно равны \( \angle A \), \( \angle B \) и \( \angle C \). Тогда косинус угла \( \angle A \) выражается через стороны треугольника следующим образом:
\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]
Аналогично, косинусы углов \( \angle B \) и \( \angle C \) записываются следующим образом:
\[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]
\[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

2. Окружность, описанная вокруг треугольника: Окружность, описанная вокруг треугольника, называется описанной окружностью. Важным свойством описанной окружности является то, что радиус этой окружности равен половине длины любой из его сторон.

Теперь приступим к решению задачи.

Пусть сторона треугольника, к которой прилегают углы 63° и 72°, будет обозначена как \( a \). Тогда, используя формулы косинусов, мы можем записать следующее:

\[ \cos 63^\circ = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
\[ \cos 72^\circ = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют одни и те же переменные \( a \), \( b \) и \( c \), но в разных комбинациях. Мы можем использовать метод подстановки, чтобы решить эту систему уравнений.

Давайте решим первое уравнение относительно \( b \):

\[ b^2 = 2ab \cos 63^\circ - a^2 + c^2 \]
\[ b = \sqrt{2ab \cos 63^\circ - a^2 + c^2} \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ \cos 72^\circ = \frac{a^2 + c^2 - (2ab \cos 63^\circ - a^2 + c^2)}{2ac} \]

Упростим это выражение:

\[ \cos 72^\circ = \frac{3a^2 - 2ab \cos 63^\circ}{2ac} \]

Теперь упростим еще больше, учитывая, что \( \cos 72^\circ = \sin 18^\circ \) и \( \cos 63^\circ = \sin 27^\circ \), и применим формулу половинного угла для синуса:

\[ \sin 18^\circ = \frac{3a^2 - 2ab \sin 27^\circ}{2ac} \]

Используя тригонометрическое тождество \( \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \) и упрощая выражение, мы получаем:

\[ \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{3a - 2a \sin 27^\circ}{2a} \]

Теперь выразим \( a \):

\[ a = \frac{\sqrt{5}-1}{6-4\sin 27^\circ} \]

Теперь, чтобы найти радиус описанной окружности, используем свойство описанной окружности, которое гласит, что радиус \( R \) равен половине длины стороны \( a \):

\[ R = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{12-8\sin 27^\circ} \]

Итак, длина стороны треугольника, к которой прилегают углы 63° и 72°, равна \( \frac{\sqrt{5}-1}{6-4\sin 27^\circ} \), а радиус описанной окружности этого треугольника равен \( \frac{\sqrt{5}-1}{12-8\sin 27^\circ} \).

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!