Знайдіть довжину катетів прямокутного трикутника, коли відношення катетів дорівнює 12:5, а гіпотенуза дорівнює 39

Ледяной_Подрывник

20

Задача требует найти длину катетов прямоугольного треугольника, когда отношение катетов равно 12:5, а гипотенуза равна 39 см.

Давайте назовем первый катет x, а второй катет y. Согласно условию, отношение катетов x:y = 12:5. Мы можем записать это уравнение в виде:

\(\frac{x}{y} = \frac{12}{5}\)

Мы также знаем, что гипотенуза c равна 39 см и в соответствии с теоремой Пифагора:

\(c^2 = x^2 + y^2\)

Подставим значение гипотенузы в уравнение:

\(39^2 = x^2 + y^2\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (x и y).

Мы можем использовать первое уравнение для выражения одной переменной через другую. Домножим обе части уравнения на \(y\) и получим:

\(x = \frac{12}{5}y\)

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\(39^2 = \left(\frac{12}{5}y\right)^2 + y^2\)

Теперь у нас есть одно уравнение с одной переменной \(y\). Решим его.

\(1521 = \frac{144}{25}y^2 + y^2\)

Упростим выражение:

\(1521 = \frac{144}{25}y^2 + \frac{25}{25}y^2\)

\(1521 = \frac{169}{25}y^2\)

Домножим обе части уравнения на \(\frac{25}{169}\):

\(y^2 = \frac{25}{169} \cdot 1521\)

\(y^2 = \frac{25 \cdot 1521}{169}\)

\(y^2 = \frac{38025}{169}\)

Теперь найдем значение \(y\). Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получим:

\(y = \sqrt{\frac{38025}{169}}\)

Однако, поскольку речь идет о длине катета, то \(y\) должно быть положительным числом. Поэтому:

\(y = \frac{13 \cdot 25}{13}\)

\(y = 25\) см

Теперь найдем значение \(x\) с помощью первого уравнения:

\(x = \frac{12}{5} \cdot 25\)

\(x = 60\) см

Таким образом, длина первого катета равна 60 см, а длина второго катета равна 25 см.