Яка довжина відрізка, що з єднує центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи і має довжину 6√2
Яка довжина відрізка, що з"єднує центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи і має довжину 6√2 см, а також утворює кут 45° з площиною основи? Знайти площу осьового перерізу циліндра.
Serdce_Skvoz_Vremya 56
Давайте решим задачу по порядку. Сначала найдем длину отрезка, соединяющего центр верхней основы цилиндра с точкой на нижней основе.У нас есть информация, что длина этого отрезка составляет 6√2 см. Предположим, что центр верхней основы цилиндра находится в точке A, а точка на нижней основе - в точке B.
Теперь нам нужно найти площадь осевого сечения цилиндра. Для этого нам понадобится знать радиус нижней основы (обозначим его r) и рассчитать площадь круга с таким радиусом.
Для нахождения радиуса основы, вспомним про свойство угла между отрезком, соединяющим центр верхней основы цилиндра с точкой на нижней основе, и плоскостью основы. Согласно заданию, этот угол равен 45°.
Когда мы рисуем перпендикуляр движения отрезка AB к основе, он разделяет себе окружность, лежащую на основе цилиндра, на 2 сектора. Мы знаем, что угол каждого такого сектора равен 45° (половина угла осевого перереза, так как отрезок AB делит осевой перерез на 2 части).
Теперь у нас есть достаточная информация, чтобы найти длину окружности на нижней основе цилиндра (обозначим ее L). Рассчитаем ее, зная что угол осевого перереза равен 360° (полный угол вокруг оси). Дано, что угол одного сектора равен 45°.
Угол одного сектора в градусах: 45°
Полный угол вокруг оси в градусах: 360°
Теперь рассчитаем длину окружности на нижней основе цилиндра (L) с помощью формулы для нахождения длины окружности:
L = 2πr
Поскольку мы знаем, что угол одного сектора составляет 45°, мы можем записать:
\(45° \cdot \dfrac{L}{360°} = \dfrac{L}{8}\)
Таким образом, мы можем подставить значение \(L/8\) вместо радиуса (r) в формулу для длины окружности:
\(L = 2π \cdot \dfrac{L}{8} = \dfrac{πL}{4}\)
Зная, что длина окружности L равна найденной нами длине отрезка с помощью условия задачи (6√2 см), можем записать:
\(6√2 = \dfrac{πL}{4}\)
Теперь, решим уравнение относительно L, чтобы найти длину окружности:
\(\dfrac{24√2}{π} = L\)
Теперь у нас есть значение длины окружности на нижней основе цилиндра (L), и мы можем рассчитать площадь осевого сечения цилиндра (S) с помощью формулы:
\(S = πr^2\)
Подставив значение L вместо радиуса (r):
\(S = π \left(\dfrac{L}{2π}\right)^2 = \dfrac{L^2}{4π}\)
Теперь можем вычислить площадь осевого сечения цилиндра:
\(S = \dfrac{\left(\dfrac{24√2}{π}\right)^2}{4π}\)