Яка кількість атомів стронцію міститься в радіоактивному препараті при активності 0,005?

Олег

61

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется знать несколько важных концепций из радиоактивности и химии. Давайте начнем с понятия активности и связанного с ним закона распада.

Активность обозначает количественную меру распада радиоактивного вещества за единицу времени. Она измеряется в беккерелях (Бк) и обозначается символом А.

Закон распада, который описывает распад радиоактивных веществ, гласит следующее: скорость распада пропорциональна количеству оставшихся нераспавшихся ядер. Математически это представляется следующей формулой:

\[
\frac{{dN}}{{dt}} = -\lambda N
\]

где \(N\) - количество нераспавшихся ядер вещества, \(\lambda\) - постоянная распада.

Постоянная распада \(\lambda\) связана с периодом полураспада \(T_{1/2}\) следующим соотношением:

\[
T_{1/2} = \frac{{\ln 2}}{{\lambda}}
\]

Теперь давайте перейдем к стронцию. Атомный номер стронция равен 38, что означает, что у него в ядре 38 протонов. Мы знаем, что у стронция обычно есть два изотопа: стронций-87 и стронций-90. Оба изотопа радиоактивны и распадаются со временем.

Нам дано, что активность радиоактивного препарата равна 0,005. Так как активность связана с количеством нераспавшихся ядер, мы можем записать:

\[
A = -\frac{{dN}}{{dt}}
\]

Теперь мы хотим найти количество атомов стронция \(-dN\). Для этого мы должны вспомнить, что количество атомов можно выразить через количество молей по формуле:

\[
N = n \cdot N_A
\]

где \(n\) - количество молей, \(N_A\) - постоянная Авогадро, которая равна примерно \(6,02214076 \times 10^{23}\) атомов на моль.

Используя все эти концепции, давайте решим задачу.

Мы знаем, что активность \(A\) равна 0,005 и что активность связана с количеством нераспавшихся ядер \(-\frac{{dN}}{{dt}}\), поэтому:

\[
0,005 = -\frac{{dN}}{{dt}}
\]

Теперь ту же самую активность можно выразить через количество молей \(n\) и постоянную Авогадро \(N_A\):

\[
A = -\frac{{dN}}{{dt}} = -\frac{{dn \cdot N_A}}{{dt}}
\]

Теперь мы установили связь между изменением количества атомов и изменением количества молей. Это означает, что изменение количества атомов можно записать как:

\[
-\frac{{dN}}{{dt}} = -\frac{{dn}}{{dt}} \cdot N_A
\]

Теперь мы можем выразить изменение количества молей. Мы знаем, что количество молей можно выразить через количество атомов по формуле \(N = n \cdot N_A\), поэтому:

\[
-\frac{{dN}}{{dt}} = -\frac{{d(n \cdot N_A)}}{{dt}} = -N_A \cdot \frac{{dn}}{{dt}}
\]

Теперь мы можем записать:

\[
0,005 = -N_A \cdot \frac{{dn}}{{dt}}
\]

Переместим \(-N_A\) в другую сторону и проинтегрируем по обоим сторонам:

\[
\int 0,005 \, dt = -N_A \int dn
\]

\[
0,005t + C_1 = -N_A n + C_2
\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - постоянные интегрирования.

Поскольку мы хотим найти количество атомов, давайте выразим его из этого уравнения:

\[
N = \frac{{0,005t + C_1 - C_2}}{{-N_A}}
\]

Теперь мы можем переписать это выражение, заменив константы \(C_1 - C_2\) другой постоянной \(C\):

\[
N = \frac{{0,005t + C}}{{-N_A}}
\]

В этом уравнении \(t\) представляет собой время в единицах, в которых измеряется активность (например, секунды).

Теперь давайте заменим время \(t\) на \(T_{1/2}\), период полураспада стронция-90. Подставляя это в уравнение, мы получим:

\[
N = \frac{{0,005T_{1/2} + C}}{{-N_A}}
\]

Используя значения \(T_{1/2}\) и \(N_A\), которые мы ранее упомянули, и преобразуя это уравнение, мы можем найти количество атомов стронция в радиоактивном препарате при активности 0,005.

Таким образом, ответ на задачу будет зависеть от времени полураспада \(T_{1/2}\), которое требуется для получения точного числового значения. Если у вас есть значение \(T_{1/2}\), я могу продолжить с расчетами и предоставить окончательный ответ на эту задачу.