Яка маса планети, навколо якої обертається супутник по коловій орбіті радіусом 3800 км з періодом 2 год? Дайте

Shokoladnyy_Nindzya

65

Чтобы рассчитать массу планеты в данной задаче, мы должны воспользоваться законом всемирного тяготения, формулировка которого гласит: сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Для начала, давайте определим величину гравитационной постоянной \(G\), которая равна приблизительно \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\). Данная постоянная является фундаментальной константой в физике и используется в расчетах с гравитационной силой.

Далее, обозначим массу планеты как \(M\) и массу супутника как \(m\). Радиус орбиты супутника равен 3800 км, что соответствует 3 800 000 метрам. По условию, период обращения равен 2 часам, что соответствует 7200 секундам.

Теперь мы можем воспользоваться формулой для периода обращения спутника вокруг планеты:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot (M + m)}}\]

Где \(T\) - период обращения, \(r\) - радиус орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(m\) - масса супутника.

Данная формула следует из закона Кеплера о периодах обращения планет, и мы можем переписать ее, чтобы выразить \(M\) (массу планеты):
\[M = \frac{T^2 \cdot G}{4\pi^2} \cdot \left(\frac{r}{r^3}\right)\]

Подставим значения в формулу, преобразовав радиус орбиты из километров в метры:
\[M = \frac{(7200 \, \text{с})^2 \cdot 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)}{4\pi^2} \cdot \left(\frac{3 800 000 \, \text{м}}{(3 800 000 \, \text{м})^3}\right)\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[M \approx 5.96 \times 10^{24} \, \text{кг}\]

Таким образом, масса планеты, вокруг которой обращается супутник, составляет приблизительно \(5.96 \times 10^{24}\) килограмма.