Яка маса планети, удвічі менша за масу Землі, якщо прискорення вільного падіння на її поверхні таке ж, як на Землі?

Filipp_5277

59

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы, связанные с законом всемирного тяготения и законом Ньютона для свободного падения.

Первым шагом, найдем массу Земли (\(m_1\)) и прискорение вільного падіння на ее поверхности (\(g_1\)). По условию задачи, прискорение вільного падіння на Землі (\(g_1\)) равно \(9.8 \, м/c^2\).

По формуле для прискорення свободного падения заданной массы (\(m_1\)):
\[g_1 = \frac{G \cdot m_1}{r^2}\]
где \(G\) - гравитационная постоянная, а \(r\) - радиус Земли.

С учетом известных величин и упрощений получаем:
\[m_1 = \frac{g_1 \cdot r^2}{G}\]

Подставим известные значения и рассчитаем массу Земли.

\[m_1 = \frac{9.8 \, м/c^2 \cdot (6400 \, км)^2}{6.673 \times 10^{-11} \, м^3/кг \cdot с^2}\]

Решив данное уравнение, получим массу Земли \(m_1\).

Теперь, чтобы найти массу планеты (\(m_2\)), удвічі меншу за масу Землі (\(m_1\)), с таким же прискорением свободного падения (\(g_1\), 9.8 м/c^2) на ее поверхности, мы можем использовать ту же формулу, представленную выше.

\[m_2 = \frac{g_1 \cdot r_2^2}{G}\]

Здесь \(r_2\) - радиус планеты, массу которой мы ищем.

Используя то, что масса планеты вдвое меньше массы Земли (\(m_2 = \frac{m_1}{2}\)) и подставив известные значения, получаем:

\[\frac{m_1}{2} = \frac{g_1 \cdot r_2^2}{G}\]

Теперь мы можем найти массу планеты (\(m_2\)) путем подстановки в известные значения массы Земли (\(m_1\)) и решения уравнения:

\[\frac{m_1}{2} = \frac{9.8 \, м/c^2 \cdot r_2^2}{6.673 \times 10^{-11} \, м^3/кг \cdot с^2}\]

Распределяем и решаем уравнение:

\[m_2 = \frac{9.8 \, м/c^2 \cdot r_2^2}{6.673 \times 10^{-11} \, м^3/кг \cdot с^2} \times 2\]

Таким образом, чтобы найти массу планеты, удвічі меншую за массу Земли, и с таким же прискорением свободного падения (\(9.8 \, м/c^2\)) на ее поверхности, необходимо взять массу Земли, умножить ее на 2 и поделить на \(\frac{9.8 \, м/c^2 \cdot r_2^2}{6.673 \times 10^{-11} \, м^3/кг \cdot с^2}\).

Таким образом, масса планеты будет равна \(m_2\).