Яка мінімальна швидкість потрібна електрону, щоб іонізувати атом водню, з урахуванням прискорюючої анодної напруги

Карамелька_2651

55

Щоб розв"язати цю задачу, нам потрібно знати енергію прив"язки електрона в атомі водню та використати формулу для розрахунку мінімальної швидкості.

Енергія прив"язки електрона в атомі водню відома та дорівнює 13,6 еВ. Щоб іонізувати атом водню, потрібно, щоб електрон мав енергію, більшу або рівну цій значенні. Прискорююча анодна напруга також дорівнює 13,6 еВ.

При взаємодії прискорюючої напруги з електроном, його потенціальна енергія перетворюється на кінетичну енергію. Це включає кінетичну енергію, яку носить електрон та його потенціальну енергію.

Зважаючи на це, ми можемо записати формулу:

\(\frac{1}{2} m v^2 = qV\),

де \(m\) - маса електрона, \(v\) - його швидкість, \(q\) - заряд електрона, \(V\) - анодна напруга.

Ми знаємо, що заряд електрона \(q = -1.6 \times 10^{-19}\) Кл та прискорююча анодна напруга \(V = 13.6\) еВ. Щоб знайти масу електрона \(m\), нам потрібно знати його енергію.

Енергія електрона пов"язана з його швидкістю за формулою:

\(E = \frac{1}{2} m v^2\).

Ми знаємо, що енергія електрона повинна бути більшою або рівною енергії прив"язки електрона в атомі водню. Таким чином, ми можемо записати:

\(E \geq 13.6\) еВ.

Задача полягає у знаходженні мінімальної швидкості, тому взявши формулу для енергії електрона та підставивши її у нерівність, ми отримаємо:

\(\frac{1}{2} m v^2 \geq 13.6\) еВ.

Тепер, замість \(E\), ми можемо підставити формулу для кінетичної енергії електрона:

\(\frac{1}{2} m v^2 \geq 13.6\) еВ.

Для спрощення розрахунків, давайте використаємо електронвольти (еВ) для енергії, а не Джоулі. 1 еВ дорівнює \(1.6 \times 10^{-19}\) Джоулі, таким чином 13.6 еВ дорівнює \(13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}\) Джоулі.

Замінивши значення, ми отримаємо:

\(\frac{1}{2} m v^2 \geq 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}\) Джоулі.

Тепер давайте обчислимо масу електрона \(m\). Для цього нам потрібно переписати нерівність:

\(m v^2 \geq 2 \times 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}\) Джоулі.

Тепер виразимо швидкість \(v\):

\(v^2 \geq \frac{2 \times 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{m}\) м^2/с^2.

На цьому етапі ми маємо використати відому формулу Ейнштейна \(E = mc^2\), де \(c\) - швидкість світла.

Підставивши \(E = 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}\) Джоулі та \(c = 3 \times 10^8\) м/с, ми отримаємо:

\(13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} = m (3 \times 10^8)^2\).

Розкриваємо дужки квадрата швидкості світла:

\(13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} = m \times 9 \times 10^{16}\).

Спрощуємо числовий вираз:

\(2.176 \times 10^{-18} = 9 \times 10^{16}m\).

Для знаходження маси електрона \(m\), поділимо обидві частини рівняння на \(9 \times 10^{16}\):

\(m = \frac{2.176 \times 10^{-18}}{9 \times 10^{16}}\).

Розрахунок даває нам:

\(m = 2.42 \times 10^{-35}\) кг.

Тепер ми маємо все необхідне, щоб знайти мінімальну швидкість. Підставимо значення:

\(v^2 \geq \frac{2 \times 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2.42 \times 10^{-35}}\) м^2/с^2.

Проведемо розрахунок:

\(v^2 \geq 67.4 \times 10^{15}\) м^2/с^2.

Щоб знайти мінімальну швидкість \(v\), візьмемо квадратний корінь з обох боків:

\(v \geq \sqrt{67.4 \times 10^{15}}\) м/с.

Підрахуємо квадратний корінь:

\(v \geq 2.6 \times 10^8\) м/с.

Таким чином, мінімальна швидкість потрібна електрону для іонізації атома водню, з урахуванням прискорюючої анодної напруги 13.6, дорівнює \(2.6 \times 10^8\) м/с.