Якого діаметру повинні мати круги, щоб створити конденсатор з ємністю 200 пФ, коли обидві сторони паперу завтовшки

Искандер

70

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулу для емкости конденсатора и способ ее вычисления. Емкость конденсатора можно выразить через формулу:

\[C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot A}}{d}\]

где \(C\) - емкость конденсатора, \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная (приблизительно равна \(8.854 \times 10^{-12}\) Ф/м), \(\varepsilon_r\) - диэлектрическая проницаемость материала (для бумаги примерно равна 3.7), \(A\) - площадь перекрываемых кружков алюминиевой фольги, \(d\) - расстояние между покрытиями фольги.

Дано, что емкость конденсатора должна быть 200 пФ, а толщина бумаги между покрытиями фольги составляет 0,2 мм. Подставив данные в формулу, мы можем решить задачу:

\[200 \times 10^{-12} = \frac{{8.854 \times 10^{-12} \cdot 3.7 \cdot A}}{0.2 \times 10^{-3}}\]

Рассчитав это выражение, мы найдем площадь \(A\) перекрываемых фольгой кружков. Затем, используя формулу для площади круга, можно найти диаметр кружков фольги:

\[A = \pi \cdot r^2\]

\[d = 2r\]

где \(r\) - радиус кружка фольги.

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Решение уравнения для нахождения площади \(A\):

\[200 \times 10^{-12} = \frac{{8.854 \times 10^{-12} \cdot 3.7 \cdot A}}{0.2 \times 10^{-3}}\]

Перенесем переменные и значения по разные стороны уравнения:

\[A = \frac{{200 \times 10^{-12} \times 0.2 \times 10^{-3}}}{{8.854 \times 10^{-12} \cdot 3.7}}\]

Выполняя небольшую арифметику, получим:

\[A \approx 1.343 \times 10^{-8} \, \text{м}^2\]

Шаг 2: Находим радиус кружка фольги \(r\):

Используя формулу для площади круга, найдем радиус:

\[\pi \cdot r^2 = 1.343 \times 10^{-8}\]

\[r^2 = \frac{{1.343 \times 10^{-8}}}{{\pi}}\]

\[r \approx \sqrt{\frac{{1.343 \times 10^{-8}}}{{\pi}}}\]

Вычисляя значение, получим:

\[r \approx 1.305 \times 10^{-4} \, \text{м}\]

Шаг 3: Находим диаметр кружка фольги:

Используя формулу для диаметра круга, найдем диаметр:

\[d = 2r\]

\[d \approx 2 \times 1.305 \times 10^{-4}\]

\[d \approx 2.61 \times 10^{-4} \, \text{м}\]

Таким образом, кружки фольги должны иметь диаметр приблизительно \(2.61 \times 10^{-4}\) метра, что составляет около 0.261 мм.