Якого діаметру повинні мати круги, щоб створити конденсатор з ємністю 200 пФ, коли обидві сторони паперу завтовшки

Искандер

70

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулу для емкости конденсатора и способ ее вычисления. Емкость конденсатора можно выразить через формулу:

$$C=\frac{{\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r\cdot A}{d}$$

где $C$ - емкость конденсатора, ${\epsilon }_0$ - электрическая постоянная (приблизительно равна $8.854\times {10}^{-12}$ Ф/м), ${\epsilon }_r$ - диэлектрическая проницаемость материала (для бумаги примерно равна 3.7), $A$ - площадь перекрываемых кружков алюминиевой фольги, $d$ - расстояние между покрытиями фольги.

Дано, что емкость конденсатора должна быть 200 пФ, а толщина бумаги между покрытиями фольги составляет 0,2 мм. Подставив данные в формулу, мы можем решить задачу:

$$200\times {10}^{-12}=\frac{8.854\times {10}^{-12}\cdot 3.7\cdot A}{0.2\times {10}^{-3}}$$

Рассчитав это выражение, мы найдем площадь $A$ перекрываемых фольгой кружков. Затем, используя формулу для площади круга, можно найти диаметр кружков фольги:

$$A=\pi \cdot r^2$$

$$d=2r$$

где $r$ - радиус кружка фольги.

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Решение уравнения для нахождения площади $A$:

$$200\times {10}^{-12}=\frac{8.854\times {10}^{-12}\cdot 3.7\cdot A}{0.2\times {10}^{-3}}$$

Перенесем переменные и значения по разные стороны уравнения:

$$A=\frac{200\times {10}^{-12}\times 0.2\times {10}^{-3}}{8.854\times {10}^{-12}\cdot 3.7}$$

Выполняя небольшую арифметику, получим:

$$A\approx 1.343\times {10}^{-8}{\text{м}}^2$$

Шаг 2: Находим радиус кружка фольги $r$:

Используя формулу для площади круга, найдем радиус:

$$\pi \cdot r^2=1.343\times {10}^{-8}$$

$$r^2=\frac{1.343\times {10}^{-8}}{\pi }$$

$$r\approx \sqrt{\frac{1.343\times {10}^{-8}}{\pi }}$$

Вычисляя значение, получим:

$$r\approx 1.305\times {10}^{-4}\text{м}$$

Шаг 3: Находим диаметр кружка фольги:

Используя формулу для диаметра круга, найдем диаметр:

$$d=2r$$

$$d\approx 2\times 1.305\times {10}^{-4}$$

$$d\approx 2.61\times {10}^{-4}\text{м}$$

Таким образом, кружки фольги должны иметь диаметр приблизительно $2.61\times {10}^{-4}$ метра, что составляет около 0.261 мм.