Яка є об єм кулі з центром у точці O, яка торкається площини в точці A, і точка B знаходиться в цій площині, якщо

  • 51
Яка є об"єм кулі з центром у точці O, яка торкається площини в точці A, і точка B знаходиться в цій площині, якщо відстань AB дорівнює 20,4 см, а відстань BO дорівнює 22,1 см?
Черная_Медуза
34
Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства касательной и радиус-вектора векторов.

Для начала, обратимся к картине ниже, чтобы лучше понять геометрическую ситуацию:


B
/|
/ |
/ |
A---O


Из условия задачи мы знаем, что расстояние AB равно 20,4 см, а расстояние BO равно 22,1 см.

Точка O является центром кули, а точка A - точкой касания площади и кули. Учитывая это, мы можем заключить, что вектор OA является радиус-вектором соединяющим точки O и A.

Обозначим радиус кули как r и объем кули как V.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OAB.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка OB. В этом треугольнике, OB является гипотенузой, а ОА - одним из катетов.

Применяя теорему Пифагора, получаем:
\[OB^2 = OA^2 + AB^2 \]

Подставляя известные значения, получаем:
\[(22,1)^2 = OA^2 + (20,4)^2 \]

Вычисляя это, получаем:
\[OB^2 = OA^2 + 416,16 \]

Теперь обратимся к понятию объема кули. Объем кули определяется формулой:
\[ V = \dfrac {4}{3}\pi r^3 \]

Так как куля касається площини в точці A, лежит в площине, а точка B знаходиться в цій площині, то середина кулі лежить на прямій АB, а отже лежить в прямій. В такому випадку, радіус-вектор OB перпендикулярний до площини, проходит в центр кулі і перпендикулярний до площини знаходиться в точці B.

Так как куля касается плоскости в точке А, радиус-вектор ОА будет перпендикулярен к плоскости в точке А.

Следовательно, вектора OB и ОА будут взаимно перпендикулярными.

Это означает, что треугольник OAB является прямоугольным треугольником, и мы можем использовать это для определения связи между величинами ОА, ОВ и r.

Так как ОА и ОВ перпендикулярны, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значения r:

\[ r = \sqrt {OB^2 - OA^2} = \sqrt {22,1^2 - OA^2} \]

Теперь, используя формулу объема кули, мы можем выразить его через радиус кули:

\[ V = \dfrac {4}{3}\pi (\sqrt {22,1^2 - OA^2})^3 \]

Это выражение позволяет нам вычислить объем кули, если мы знаем значение ОА.

Однако, нам не дана точная информация о значении ОА. Мы можем предположить, что ОА является неизвестной, и оставить формулу в этом виде.

Мы можем дать школьнику объяснение, как решить задачу, основываясь на изложенных выше шагах. Школьник может использовать формулу для вычисления объема, если известно значение ОА:

\[ V = \dfrac {4}{3}\pi (\sqrt {22,1^2 - OA^2})^3 \]

Однако, задача не предоставляет информацию об ОА, поэтому для полного решения нам нужно знать это значение или дополнительные условия, чтобы вычислить точный объем кули.