Яка площа бічної поверхні прямої призми, якщо її основа є рівнобічною трапецією з основами 4 см і 12 см, а діагоналі
Яка площа бічної поверхні прямої призми, якщо її основа є рівнобічною трапецією з основами 4 см і 12 см, а діагоналі служать бісектрисами тупих кутів трапеції, а кут між діагоналлю і бічним ребром становить 30 градусів?
Котенок 43
Для розв"язання цієї задачі потрібно застосувати формулу для обчислення площі бічної поверхні призми:\[P = p * h\]
де \(P\) - площа бічної поверхні, \(p\) - периметр основи призми, \(h\) - висота призми.
Спочатку знайдемо периметр основи призми. Оскільки основа є рівнобічною трапецією з основами 4 см і 12 см, можемо вирахувати її периметр за формулою:
\[p = a + b + c + d\]
де \(a\) і \(b\) - основи трапеції, \(c\) і \(d\) - бічні сторони трапеції.
Застосуємо теорему косинусів для знаходження бічних сторін трапеції:
\[\cos(30^\circ) = \frac{c^2 + d^2 - a^2 - b^2}{2cd} = \frac{c^2 + d^2 - 4^2 - 12^2}{2cd}\]
Оскільки кути трапеції тупі, то \(c = d\). Після спрощення отримаємо:
\[\cos(30^\circ) = \frac{2c^2 - 16^2}{2c^2}\]
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2c^2 - 16^2}{2c^2}\]
\[\sqrt{3}c^2 = 384\]
\[c^2 = \frac{384}{\sqrt{3}}\]
\[c \approx 80.16\]
Таким чином, бічні сторони трапеції \(c\) і \(d\) приблизно дорівнюють 80.16 см.
Тепер знаходимо периметр основи призми:
\[p = a + b + c + d = 4 + 12 + 80.16 + 80.16 = 176.32\]
Таким чином, периметр основи призми приблизно дорівнює 176.32 см.
Залишилось знайти висоту призми. Враховуючи, що діагоналі трапеції є бісектрисами тупих кутів, можемо скористатися властивістю рівнобічної трапеції і розділити її на дві рівні гострокутні трикутники. Кут між діагоналлю і бічним ребром становить 30 градусів, тому кут між діагоналлю і основою трапеції дорівнює \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). Застосовуючи теорему синусів в цих трикутниках, отримаємо:
\[\frac{h}{\sin(150^\circ)} = \frac{c}{\sin(30^\circ)}\]
\[h = \frac{c \cdot \sin(150^\circ)}{\sin(30^\circ)}\]
\[h \approx 80.16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} \approx 69.28\]
Таким чином, висота призми приблизно дорівнює 69.28 см.
Залишається знайти площу бічної поверхні призми, використовуючи формулу \(P = p \cdot h\):
\[P = 176.32 \cdot 69.28 \approx 12216.7\]
Отже, площа бічної поверхні прямої призми приблизно дорівнює 12216.7 кв. см.