Яка площа кругового перетину кулі та площини, розташованої на відстані 3 см від її центра, дорівнює 16п см^2. Якій
Яка площа кругового перетину кулі та площини, розташованої на відстані 3 см від її центра, дорівнює 16п см^2. Якій об"єм кулі відповідає це значення?
Алина_9881 16
Для розв"язання цієї задачі, давайте спочатку знайдемо радіус кулі. Нехай \( r \) буде радіусом кулі.Ми знаємо, що площа кругового перетину кулі і площина, розташована на відстані 3 см від її центра, становить 16п см^2. Оскільки площину розташовано на відстані 3 см від центра, радіус кулі дорівнює \( r + 3 \).
Формула для площі круга заданого радіуса \( R \) має вигляд: \( S = \pi R^2 \).
Отже, площа круга перетину кулі дорівнює: \( 16\pi \) см^2.
За відомою формулою площі круга перетину кулі можемо записати:
\[ 16\pi = \pi (r + 3)^2 \]
Давайте розкриємо дужки і розв"яжемо це рівняння:
\[ 16\pi = \pi (r^2 + 6r + 9) \]
Скоротимо \( \pi \) на обох боках рівняння:
\[ 16 = r^2 + 6r + 9 \]
Перенесемо всі члени рівняння в одну сторону:
\[ r^2 + 6r + 9 - 16 = 0 \]
Скоротимо числа:
\[ r^2 + 6r - 7 = 0 \]
Тепер нам потрібно розв"язати це квадратне рівняння. Ми можемо використати квадратну формулу для цього.
Формула для розв"язання квадратного рівняння \( ax^2 + bx + c = 0 \) має вигляд: \( x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \)
У нашому випадку: \( a = 1, b = 6, c = -7 \).
Підставимо ці значення у формулу і знайдемо розв"язки \( r_1 \) і \( r_2 \):
\[ r_1 = \frac{{-6 + \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}}}{{2 \cdot 1}} \]
\[ r_2 = \frac{{-6 - \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}}}{{2 \cdot 1}} \]
Після обчислень, отримаємо:
\[ r_1 = 1 \]
\[ r_2 = -7 \]
Ми знаємо, що радіус має бути позитивним числом, тому \( r = r_1 = 1 \).
Тепер, коли ми знаємо радіус кулі, можемо знайти об"єм кулі.
Формула для об"єму кулі має вигляд: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \).
Підставивши відомі значення, отримаємо:
\[ V = \frac{4}{3} \pi (1)^3 \]
Виконаймо обчислення:
\[ V = \frac{4}{3} \pi \]
Отже, об"єм кулі, який відповідає площі кругового перетину 16п см^2, дорівнює \( \frac{4}{3} \pi \), або, точніше, приблизно 4,18879 куб. см.