Яка площа трикутника ACN, якщо у трикутнику ABC сторона AB дорівнює 4 см, а висота CM, проведена до цієї сторони

Муравей

27

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о площади треугольника и свойствах медианы. Давайте пошагово решим задачу:

Шаг 1: Найдем площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника по одной стороне и высоте, опущенной на нее. Формула выглядит следующим образом:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

У нас есть основание AB, равное 4 см, и высота CM, равная 15 см. Подставим эти значения в формулу:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{см} \times 15 \, \text{см} = 2 \, \text{см} \times 15 \, \text{см} = 30 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет 30 квадратных см.

Шаг 2: Теперь нам нужно рассмотреть медиану треугольника ABC. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Поскольку медиана проведена из вершины A, мы можем обозначить ее как AM. Медиана делит другую сторону треугольника пополам, поэтому длина BM равна половине длины стороны AC.

Шаг 3: Зная, что медиана разделяет треугольник на два равных треугольника, мы можем сказать, что площади треугольников ABM и ACM равны:

\[S_{ABM} = S_{ACM}\]

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника ACM, мы можем использовать площадь треугольника ABM.

Шаг 4: В треугольнике ABM, мы знаем, что одна сторона AB равна 4 см, а медиана AM делит эту сторону пополам.

Применяя теорему Пифагора, мы можем найти длину AM следующим образом:
\[AM = \sqrt{AB^2 - BM^2}\]

Так как BM равняется половине AC, и BM = AC/2, мы можем записать:
\[AM = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2}\]
\[AM = \sqrt{4^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2}\]
\[AM = \sqrt{16 - \frac{AC^2}{4}} = \sqrt{\frac{64 - AC^2}{4}} = \sqrt{\frac{16(4-AC^2)}{4}} = \sqrt{4-AC^2}\]

Шаг 5: Теперь мы можем использовать площадь треугольника ABM, чтобы найти площадь треугольника ACM. Мы можем использовать ту же формулу для площади треугольника, но вместо AB будем использовать AM.

\[S_{ABM} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]
\[S_{ACM} = \frac{1}{2} \times AM \times CM\]

Подставим известные значения:
\[S_{ACM} = \frac{1}{2} \times \sqrt{4-AC^2} \times 15\]

Шаг 6: Мы хотим найти площадь треугольника ACN. Так как медиана разделяет треугольник на две равные площади, мы можем сказать, что площади треугольников ACM и ACN равны:

\[S_{ACM} = S_{ACN}\]

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника ACN, мы можем использовать площадь треугольника ACM:

\[S_{ACN} = \frac{1}{2} \times \sqrt{4-AC^2} \times 15\]

Итак, площадь треугольника ACN равна \(\frac{1}{2} \times \sqrt{4-AC^2} \times 15\) квадратных см.