Яка площа трикутника, у якого одна сторона дорівнює 7 см, друга сторона дорівнює 16 см, а між ними кут дорівнює 150°?

Skolzkiy_Baron

35

Чтобы найти площадь треугольника, для начала необходимо использовать формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Формула имеет вид:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C), \]

где \(S\) обозначает площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины сторон, а \(C\) - между ними угол.

Итак, в данной задаче у нас есть \(a = 7\) см и \(b = 16\) см, а угол \(C\) равен 150°. Давайте применим формулу площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 16 \cdot \sin(150°). \]

Мы должны также найти значение синуса угла 150°. Значение синуса равно отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Однако, мы имеем треугольник, где дан угол, но нет прямого угла.

Для решения задачи построим высоту треугольника, откладывая ее от угла между сторонами. Таким образом, мы получим два прямоугольных треугольника:

\[
\begin{array}{cc}
& \quad|\ 7 \ cm\ \ |\ \ |\ 8 \ cm\ |\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | 16 \ cm\ \ |\ \\
& \quad| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ \
\end{array}
\]

Мы знаем, что синус угла \(\angle ACB\) равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) противолежащей стороной является отрезок \(AD\). Мы также знаем, что угол \(\angle ACB\) равен 150° в данной задаче и что угол \(\angle BAD\) будет 180° - 150° = 30°, так как они в сумме дают 180°.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник \(ABD\), в котором угол \(\angle BAD\) равен 30°.

\[
\begin{array}{c}
\\
| \
\end{array}
\]

Чтобы найти значение синуса угла 30°, мы знаем, что соответствующий катет будет равен \(\frac{1}{2}\) гипотенузы. Таким образом, в треугольнике \(ABD\) отрезок \(AD\) будет равен \(8 \ cm \times \frac{1}{2} = 4 \ cm\).

Мы можем перейти к расчету площади треугольника \(ABC\), используя формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 7 \ cm \cdot 16 \ cm \times \sin(150°). \]

Подставляем значение синуса угла 150°, равное отношению противолежащей стороны \(AD\) к гипотенузе \(AB\), получаем:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 7 \ cm \cdot 16 \ cm \times \frac{4 \ cm}{8 \ cm}. \]

После сокращения:

\[ S = 7 \ cm \times 2 \ cm = 14 \ cm^2. \]

Таким образом, площадь треугольника равна 14 квадратным сантиметрам.