Яка площина, яка паралельна основі піраміди, розрізає її висоту в співвідношенні 2:3 починаючи від вершини? Знайти

Искандер

17

Щоб знайти площу перерізу паралельної основі піраміди, спочатку потрібно знайти висоту цього перерізу. За умовою задачі, висота перерізу становить \(\frac{2}{3}\) висоти піраміди. Оскільки піраміда має лише одну вершину, то висота піраміди є і висотою цього перерізу.

Нехай \(h\) буде загальною висотою піраміди. Тоді висота перерізу \(h_p\) може бути обчислена як:
\[h_p = \frac{2}{3} \cdot h\]

Тепер, щоб знайти площу перерізу, нам потрібно відняти площу основи піраміди (яка залишається незмінною) від площі перерізу. За умовою задачі, площа перерізу менша за площу основи на 84 квадратні сантиметри.

Позначимо площу основи як \(S\), а площу перерізу як \(S_p\). Тоді маємо таке рівняння:
\[S_p = S - 84\]

Але знаючи, що площа перерізу паралельної основі піраміди розраховується за формулою:
\[S_p = \frac{1}{4} \cdot h^2\]

Ми можемо записати нове рівняння:
\[\frac{1}{4} \cdot h^2 = S - 84\]

Тепер ми можемо використати це рівняння для знаходження висоти піраміди \(h\) та потім використати цю висоту для знаходження площі перерізу \(S_p\).

Спочатку розв"яжемо рівняння для \(h\):
\[\frac{1}{4} \cdot h^2 = S - 84\]

Множимо обидві сторони рівняння на 4:
\[h^2 = 4 \cdot (S - 84)\]

Після цього знаходимо квадратний корінь обох сторін:
\[h = \sqrt{4 \cdot (S - 84)}\]

Знайдена висота \(h\) є висотою всієї піраміди.

Тепер ми можемо визначити площу перерізу \(S_p\) за формулою:
\[S_p = \frac{1}{4} \cdot h_p^2\]

Підставляємо величину висоти перерізу \(h_p = \frac{2}{3} \cdot h\) та обчислюємо площу перерізу \(S_p\):
\[S_p = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot h\right)^2\]

Отже, відповідь на задачу: площа перерізу паралельної основі піраміди буде дорівнювати \(S_p\), яка обчислюється за формулою:
\[S_p = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{4 \cdot (S - 84)}\right)^2\]

Якщо ви надасте значення площі основи \(S\), я зможу обчислити площу перерізу \(S_p\) та намалювати схему для більш детального розуміння.