Яка трикутна піраміда вписана в конус, у якого твірна становить 10 і кут між площиною основи і твірною - 60°. Який

Артемий

54

Добро пожаловать! Для решения данной задачи нам потребуется использовать некоторые геометрические свойства и формулы для трикутных пирамид и конусов.

Для начала, давайте определимся с некоторыми обозначениями:
Пусть \(V\) - объем искомой трикутной пирамиды, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота трикутной пирамиды, \(l\) - образующая конуса.

Исходя из условия задачи, твирная конуса \(l\) равна 10 и угол между площадью основания и образующей равен 60°.

Первым шагом нам нужно найти радиус основания \(r\) конуса. Для этого воспользуемся формулой sin:

\[\sin(60°) = \frac{r}{l}\]

Раскрывая sin(60°) и упрощая уравнение, получим:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{10}\)

Далее, чтобы найти высоту tpyтикно пирамиды \(h\), воспользуемся теоремой Пифагора:

\[h^2 = l^2 - r^2\]

Подставляя значения в данное уравнение, получим:

\[h^2 = 10^2 - \left(\frac{10\sqrt{3}}{2}\right)^2\]

Упрощая выражение, получим:

\[h^2 = 100 - \frac{300}{4} = 100 - \frac{75}{2} = \frac{250}{2} - \frac{75}{2} = \frac{175}{2} = \frac{7 \cdot 25}{2} = 7 \cdot \frac{25}{2} = 7 \cdot 12.5 = 87.5\]

Теперь, зная радиус основания \(r\) и высоту трикутной пирамиды \(h\), мы можем рассчитать объем пирамиды с помощью формулы:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{10\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \sqrt{87.5}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{300}{4} \cdot \sqrt{87.5} = \frac{25}{2} \cdot \pi \cdot \sqrt{87.5} \approx 135.6\]

Итак, объем искомой трикутной пирамиды составляет примерно 135.6 (единицы объема).