Яка трикутна піраміда вписана в конус, у якого твірна становить 10 і кут між площиною основи і твірною - 60°. Який

Артемий

54

Добро пожаловать! Для решения данной задачи нам потребуется использовать некоторые геометрические свойства и формулы для трикутных пирамид и конусов.

Для начала, давайте определимся с некоторыми обозначениями:
Пусть $V$ - объем искомой трикутной пирамиды, $r$ - радиус основания конуса, $h$ - высота трикутной пирамиды, $l$ - образующая конуса.

Исходя из условия задачи, твирная конуса $l$ равна 10 и угол между площадью основания и образующей равен 60°.

Первым шагом нам нужно найти радиус основания $r$ конуса. Для этого воспользуемся формулой sin:

$$\sin (60°)=\frac{r}{l}$$

Раскрывая sin(60°) и упрощая уравнение, получим:

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{10}$

Далее, чтобы найти высоту tpyтикно пирамиды $h$, воспользуемся теоремой Пифагора:

$$h^2=l^2-r^2$$

Подставляя значения в данное уравнение, получим:

$$h^2={10}^2-{\left(\frac{10\sqrt{3}}{2}\right)}^2$$

Упрощая выражение, получим:

$$h^2=100-\frac{300}{4}=100-\frac{75}{2}=\frac{250}{2}-\frac{75}{2}=\frac{175}{2}=\frac{7\cdot 25}{2}=7\cdot \frac{25}{2}=7\cdot 12.5=87.5$$

Теперь, зная радиус основания $r$ и высоту трикутной пирамиды $h$, мы можем рассчитать объем пирамиды с помощью формулы:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Подставляя значения в формулу, получаем:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(\frac{10\sqrt{3}}{2}\right)}^2\cdot \sqrt{87.5}$$

Упрощая выражение, получаем:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \frac{300}{4}\cdot \sqrt{87.5}=\frac{25}{2}\cdot \pi \cdot \sqrt{87.5}\approx 135.6$$

Итак, объем искомой трикутной пирамиды составляет примерно 135.6 (единицы объема).