Яка величина прискорення вільного падіння на поверхні місяця з урахуванням того, що його радіус становить лише 3,7 рази

Sumasshedshiy_Rycar

49

Для розрахунку прискорення вільного падіння на поверхні місяця скористаємось законом всесвітнього тяжіння Ньютона:

\[F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

де \(F\) - сила притягання між двома тілами,
\(G\) - гравітаційна постійна (\(6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
\(m_1\) і \(m_2\) - маси тіл,
\(r\) - відстань між цими тілами.

Ми можемо розглядати Землю і Місяць як два тіла.

Маса місяця на 81 раз менша за масу Землі, тому \(m_2 = \dfrac{m_{\text{Землі}}}{81}\).
Також у нас є дані, що радіус місяця становить лише 3,7 рази менше за радіус Землі, тому \(r = \dfrac{r_{\text{Землі}}}{3.7}\).

Підставимо ці значення в рівняння:

\[F = G \cdot \dfrac{m_{\text{Землі}} \cdot \dfrac{m_{\text{Землі}}}{81}}{\left(\dfrac{r_{\text{Землі}}}{3.7}\right)^2}\]

Скористаємось фактом, що прискорення вільного падіння можна отримати як відношення сили тяжіння до маси тіла:

\[a = \dfrac{F}{m_2}\]

Підставимо значення сили тяжіння, яку ми отримали попередньо, і масу Місяця:

\[a = \dfrac{G \cdot \dfrac{m_{\text{Землі}} \cdot \dfrac{m_{\text{Землі}}}{81}}{\left(\dfrac{r_{\text{Землі}}}{3.7}\right)^2}}{\dfrac{m_{\text{Землі}}}{81}}\]

Скористаємось одним фактом: масу Землі у чисельнику можна скоротити з масою Землі у знаменнику:

\[a = G \cdot \dfrac{\dfrac{m_{\text{Землі}}}{81} \cdot \dfrac{m_{\text{Землі}}}{81}}{\left(\dfrac{r_{\text{Землі}}}{3.7}\right)^2}\]

Тепер лише замінимо величини в це рівняння:

\[a = 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{\dfrac{5.97 \cdot 10^{24}}{81} \cdot \dfrac{5.97 \cdot 10^{24}}{81}}{\left(\dfrac{6.37 \cdot 10^6}{3.7}\right)^2}\]

Зробимо обчислення:

\[a = 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{5.97 \cdot 10^{24} \cdot 5.97 \cdot 10^{24}}{81 \cdot 81 \cdot \left(\dfrac{6.37 \cdot 10^6}{3.7}\right)^2}\]

\[a \approx 1.62 \, \text{м/c}^2\]

Отже, прискорення вільного падіння на поверхні місяця становить приблизно 1.62 м/c².