1. Определите величину постоянной дифракционной решетки для решетки длиной 1,5 см и содержащей 3000 штрихов, на которую

Шура

27

1. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для расчета величины постоянной дифракционной решетки:

\[d \cdot \sin(\theta) = m \cdot \lambda\]

где:
- \(d\) - расстояние между штрихами решетки
- \(\theta\) - угол, под которым наблюдается максимум дифракции
- \(m\) - порядок интерференционного максимума (целое число)
- \(\lambda\) - длина волны света

У нас даны следующие значения:
\(d = 1.5 \, \text{см}\)
\(m = 1\) (первый интерференционный максимум)
\(\lambda = 550 \, \text{нм}\) (длина волны в нанометрах)

Подставим эти значения в формулу:

\[1.5 \, \text{см} \cdot \sin(\theta) = 1 \cdot 550 \, \text{нм}\]

Переведем расстояние между штрихами решетки из сантиметров в метры:

\[0.015 \, \text{м} \cdot \sin(\theta) = 1 \cdot 550 \, \text{нм}\]

Теперь решим уравнение относительно \(\sin(\theta)\):

\[\sin(\theta) = \frac{{1 \cdot 550 \, \text{нм}}}{{0.015 \, \text{м}}} = \frac{{550}}{{15 \cdot 10^{-4}}} \, \text{м}^{-1}\]

\[\sin(\theta) \approx 36666.67 \, \text{м}^{-1}\]

Чтобы найти значение угла \(\theta\), найдем обратный синус от полученного значения:

\[\theta \approx \arcsin(36666.67 \, \text{м}^{-1}) \, \text{рад}\]

Округлим значение угла \(\theta\) до трех знаков после запятой:

\[\theta \approx 0.626 \, \text{рад}\]

Теперь мы можем найти величину постоянной дифракционной решетки, используя формулу:

\[D = \frac{{\lambda}}{{d \cdot \sin(\theta)}}\]

\[\text{Д = } \frac{{550 \, \text{нм}}}{{1.5 \, \text{см} \cdot \sin(0.626 \, \text{рад})}}\]

Переведем расстояние между штрихами решетки из сантиметров в метры:

\[\text{Д = } \frac{{550 \, \text{нм}}}{{0.015 \, \text{м} \cdot \sin(0.626 \, \text{рад})}}\]

\[\text{Д = } \frac{{550}}{{0.015 \cdot \sin(0.626)}} \, \text{м}\]

\[\text{Д} \approx 20616.68 \, \text{м}^{-1}\]

Таким образом, величина постоянной дифракционной решетки для данной задачи составляет приблизительно \(20616.68 \, \text{м}^{-1}\).

2. Для того чтобы определить число максимумов, создаваемых решеткой, мы можем использовать формулу:

\[N = (m_{\text{max}} - m_{\text{min}}) + 1\]

где:
- \(N\) - число максимумов
- \(m_{\text{max}}\) - максимальный порядок интерференционного максимума
- \(m_{\text{min}}\) - минимальный порядок интерференционного максимума

В данном случае максимальный порядок интерференционного максимума \(m_{\text{max}}\) равен числу штрихов решетки, то есть 3000. Минимальный порядок интерференционного максимума \(m_{\text{min}}\) равен 1. Подставим значения в формулу:

\[N = (3000 - 1) + 1 = 3000\]

Таким образом, данная решетка создает в общей сложности 3000 максимумов.