Яка є відстань від точки K до вершин квадрата ABCD, якщо площина квадрата має сторону довжиною 9 см і через точку

Ledyanaya_Dusha

47

Чтобы найти расстояние от точки K до вершин квадрата ABCD, нам нужно воспользоваться свойством перпендикулярности диагонали квадрата и прямой, проведенной через точку пересечения диагоналей.

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной 9 см:

\[
\begin{{array}}{{c}}
A \quad B \\
\quad \quad | \quad \quad \\
\quad \quad | \quad \quad \\
\quad \quad O \quad \quad \\
\quad \quad | \quad \quad \\
\quad \quad | \quad \quad \\
D \quad C \\
\end{{array}}
\]

Определим расстояние от точки K до вершины A. Обозначим это расстояние как x.

Теперь рассмотрим прямую OK, на которой отложен отрезок OK длиной 4 см:

\[
\begin{{array}}{{c}}
A \quad B \\
\quad \quad | \quad \quad \\
\quad \quad | \quad \quad \\
\quad \quad O \quad \quad \\
\quad \quad |\quad \quad | \\
\quad \quad K \quad \quad \\
D \quad C \\
\end{{array}}
\]

Мы имеем прямоугольный треугольник OKA, где гипотенуза - отрезок KA, катет - отрезок OK, а другой катет - расстояние от точки K до вершины A (x). По теореме Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:

\[KA^2 = OK^2 + x^2\]

Теперь найдем длину диагонали квадрата ABCD. По теореме Пифагора, длина диагонали равна:

\[d = \sqrt{{AB^2 + BC^2}} = \sqrt{{9^2 + 9^2}} = \sqrt{{2 \cdot 9^2}} = \sqrt{{2 \cdot 81}} = \sqrt{{162}}\]

Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:

\[
\begin{{cases}}
KA^2 = OK^2 + x^2 \\
KA = \sqrt{{162}}
\end{{cases}}
\]

Подставим значение KA из второго уравнения в первое уравнение и решим его:

\[
\sqrt{{162}}^2 = OK^2 + x^2
\]

\[162 = OK^2 + x^2\]

Мы знаем, что OK равно 4 см, поэтому:

\[162 = 4^2 + x^2\]

\[162 = 16 + x^2\]

\[x^2 = 162 - 16\]

\[x^2 = 146\]

\[x = \sqrt{{146}}\]

Ответ: Расстояние от точки K до вершин квадрата ABCD равно \(\sqrt{{146}}\) см, округленное до десятых: примерно 12.1 см.