Яка висота, з якої впало тіло масою 1 кг без початкової швидкості на вертикально розташовану невагому пружину

Светлячок

15

Для того чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать законы сохранения энергии. Пусть \(h\) - искомая высота, с которой упало тело. Максимальная деформация пружины, обозначенная как \(x_{max}\), равна \(x_{max} = \frac{F_{max}}{k}\), где \(F_{max}\) - максимальная сила, действующая на пружину, \(k\) - коэффициент жесткости пружины.

Сначала мы найдем максимальную силу \(F_{max}\), которая действует на пружину при сжатии. Так как тело падает с высоты \(h\) без начальной скорости, его потенциальная энергия в начальный момент времени равна кинетической энергии в конечный момент времени падения.

\[ mgh = \frac{1}{2}kx_{max}^2 \]

Где \(m = 1\) кг - масса тела, \(g = 9.8 \, м/с^2\) - ускорение свободного падения, \(h\) - искомая высота, \(k = 500 \, Н/м\) - коэффициент жесткости пружины.

\[ 1 \cdot 9.8 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot x_{max}^2 \]

\[ 9.8h = 250x_{max}^2 \]

Теперь найдем \(x_{max}\), подставив значение \(k\):

\[ x_{max} = \frac{250}{500} = 0.5 \, м \]

Используем тот факт, что максимальная деформация пружины происходит на половине пути, поэтому тело продолжит движение до нижнего положения еще на расстояние \(0.5\) м. Таким образом, общая высота падения тела равна сумме \(h\) и \(0.5\):

\[ h_{total} = h + 0.5 \]

\[ 9.8 \cdot (h + 0.5) = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 0.5^2 \]

\[ 9.8h + 4.9 = 125 \]

\[ 9.8h = 120.1 \]

\[ h = \frac{120.1}{9.8} \approx 12.24 \, м \]

Таким образом, тело упало с высоты около \(12.24\) метров.