Яка якоординати вектора m якщо він колінеарний вектору n (1; -2; 1) і між ними існує співвідношення m•n=-3?

Игоревна

16

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойства скалярного произведения векторов и указанное співвідношення \(m \cdot n = -3\).

Зная, что вектор m коллинеарен вектору n, это означает, что между ними существует постоянное числовое отношение. Пусть это отношение равно \(k\).

Таким образом, мы можем записать вектор m как \(m = kn\).

Согласно свойствам скалярного произведения, \(m \cdot n = \|m\| \|n\| \cos \theta\), где \(\theta\) - угол между векторами m и n, а \(\|m\|\) и \(\|n\|\) - их длины.

Учитывая, что \(m \cdot n = -3\) и длина вектора n равна \(\|n\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\), мы можем переписать уравнение:

\(-3 = \|m\| \cdot \sqrt{6} \cdot \cos \theta\)

Так как векторы m и n коллинеарны, их угол \(\theta\) равен 0° или 180°, что означает, что \(\cos \theta\) может быть равным 1 или -1.

Подставим эти значения в уравнение:

Для \(\cos \theta = 1\): \(-3 = \|m\| \cdot \sqrt{6} \cdot 1\)

Для \(\cos \theta = -1\): \(-3 = \|m\| \cdot \sqrt{6} \cdot -1\)

Исключим из обоих уравнений \(\|m\|\) и решим их:

Для \(\cos \theta = 1\): \(\|m\| = \frac{-3}{\sqrt{6}} = -\frac{3\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Для \(\cos \theta = -1\): \(\|m\| = \frac{-3}{-\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)

Таким образом, координаты вектора m равны:

Для \(\cos \theta = 1\): \(m = \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2}; -\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\)

Для \(\cos \theta = -1\): \(m = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}; -\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\)

Обратите внимание, что полученные векторы заданы с точностью до знака и их можно привести к другим эквивалентным формам через домножение на обратную модульную константу.