Яке буде максимальне видовження пружини, яка підвішена на вертикальній пластині, коли тіло масою 20 г падає з висоти

  • 35
Яке буде максимальне видовження пружини, яка підвішена на вертикальній пластині, коли тіло масою 20 г падає з висоти 2,5 м і попадає в центр горизонтальної пластини масою 0,2 кг? Удар вважається абсолютно непружним.
Булька
12
Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии и импульса.

1. Первым делом, рассчитаем потенциальную энергию (максимальную высоту), с которой тело падает. Формула для потенциальной энергии:

Eп=mgh

где
Eп - потенциальная энергия (видовження),
m - масса тела (20 г),
g - ускорение свободного падения (9,8 м/с²),
h - высота падения (2,5 м).

Подставляем значения в формулу:

Eп=(0,02кг)(9,8м/с2)(2,5м)0,49Дж

2. Затем, рассчитаем импульс тела перед столкновением, используя формулу:

p=mv

где
p - импульс,
m - масса тела (20 г),
v - скорость тела перед ударом.

Мы не знаем конкретной скорости, но перед столкновением тело падает свободно под действием силы тяжести. Это означает, что скорость тела равна скорости свободного падения, которая составляет около 9,8 м/с (считая сопротивлением воздуха пренебрежимо малым). Поэтому мы можем записать:

v=9,8м/с

Подставляем значения в формулу:

p=(0,02кг)(9,8м/с)=0,196кгм/с

3. После неупругого столкновения между телом и пружиной, система будет двигаться как единое целое. Мы можем применить закон сохранения импульса, чтобы рассчитать новую скорость системы.

pдо=pпосле

где
pдо - импульс до столкновения,
pпосле - импульс после столкновения.

Мы уже рассчитали импульс до столкновения (pдо=0,196кгм/с). После столкновения, система будет двигаться с общей массой M=mтела+mпружины, где mтела - масса тела (20 г = 0,02 кг), а mпружины - масса пружины (0,2 кг). Общая масса равна:

M=0,02кг+0,2кг=0,22кг

Поэтому, импульс после столкновения будет:

pпосле=Mvконечная

где
vконечная - конечная скорость системы после столкновения.

4. Для решения задачи, мы должны понимать, что удар является абсолютно неупругим. Это означает, что пружина будет полностью деформирована и тело соединится с ней вплоть до остановки, а также все кинетическая энергия перейдет во видовження пружины.

Следовательно, мы можем записать закон сохранения энергии:

Eкин, до=Eпосле

где
Eкин, до - кинетическая энергия до столкновения,
Eпосле - энергия видовження пружины после столкновения.

Кинетическая энергия до столкновения равна нулю, так как тело падает вертикально без начальной скорости.

Поэтому:

Eпосле=12kx2

где
k - коэффициент упругости пружины (постоянная жесткости пружины),
x - максимальное видовження на пружине.

5. Используя формулу для импульса после столкновения и закон сохранения импульса, мы можем выразить конечную скорость системы:

pпосле=Mvконечная

vконечная=pпослеM

6. Теперь мы можем решить задачу, найдя максимальное видовження пружины. Подставим найденное выше значение потенциальной энергии в формулу для энергии видовження пружины:

0,49Дж=12kx2

Подставим значение k=Fx, где F - сила, вызывающая видовження, а x - расстояние, на которое пружина сжимается или раздувается:

0,49Дж=12Fxx2

Упростим формулу:

0,49Дж=12Fx

7. Найдем силу F, используя формулу импульса:

pпосле=Ft

где t - время столкновения.

Мы не знаем конкретного значения времени столкновения, но можно заметить, что выражение x=vконечнаяt, где vконечная - конечная скорость системы. Тогда можно выразить время:

t=xvконечная

Используя это соотношение, мы можем переписать формулу для импульса:

pпосле=Fxvконечная

Из этого следует:

F=pпослеvконечнаяx

8. Теперь подставляем найденные значения в формулу для максимального видовження пружины:

0,49Дж=12(pпослеvконечнаяx)x

Сокращаем и упрощаем:

0,49Дж=12pпослеvконечная

x=20,49Джpпослеvконечная

Подставляем значения pпосле=0,196кгм/с и vконечная (найденное в предыдущем шаге):

x=20,49Дж(0,196кгм/с)pпослеM

x=20,49Дж0,196кгм/с0,196кгм/с0,22кг

x0,5метра

Таким образом, максимальное видовження пружины составляет примерно 0,5 метра.