Яке буде максимальне видовження пружини, яка підвішена на вертикальній пластині, коли тіло масою 20 г падає з висоти

Булька

12

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии и импульса.

1. Первым делом, рассчитаем потенциальную энергию (максимальную высоту), с которой тело падает. Формула для потенциальной энергии:

\[ E_{\text{п}} = mgh \]

где
\( E_{\text{п}} \) - потенциальная энергия (видовження),
\( m \) - масса тела (20 г),
\( g \) - ускорение свободного падения (9,8 м/с²),
\( h \) - высота падения (2,5 м).

Подставляем значения в формулу:

\[ E_{\text{п}} = (0,02 \, \text{кг}) \cdot (9,8 \, \text{м/с}^2) \cdot (2,5 \, \text{м}) \approx 0,49 \, \text{Дж} \]

2. Затем, рассчитаем импульс тела перед столкновением, используя формулу:

\[ p = mv \]

где
\( p \) - импульс,
\( m \) - масса тела (20 г),
\( v \) - скорость тела перед ударом.

Мы не знаем конкретной скорости, но перед столкновением тело падает свободно под действием силы тяжести. Это означает, что скорость тела равна скорости свободного падения, которая составляет около 9,8 м/с (считая сопротивлением воздуха пренебрежимо малым). Поэтому мы можем записать:

\[ v = 9,8 \, \text{м/с} \]

Подставляем значения в формулу:

\[ p = (0,02 \, \text{кг}) \cdot (9,8 \, \text{м/с}) = 0,196 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

3. После неупругого столкновения между телом и пружиной, система будет двигаться как единое целое. Мы можем применить закон сохранения импульса, чтобы рассчитать новую скорость системы.

\[ p_{\text{до}} = p_{\text{после}} \]

где
\( p_{\text{до}} \) - импульс до столкновения,
\( p_{\text{после}} \) - импульс после столкновения.

Мы уже рассчитали импульс до столкновения (\( p_{\text{до}} = 0,196 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \)). После столкновения, система будет двигаться с общей массой \( M = m_{\text{тела}} + m_{\text{пружины}} \), где \( m_{\text{тела}} \) - масса тела (20 г = 0,02 кг), а \( m_{\text{пружины}} \) - масса пружины (0,2 кг). Общая масса равна:

\[ M = 0,02 \, \text{кг} + 0,2 \, \text{кг} = 0,22 \, \text{кг} \]

Поэтому, импульс после столкновения будет:

\[ p_{\text{после}} = M \cdot v_{\text{конечная}} \]

где
\( v_{\text{конечная}} \) - конечная скорость системы после столкновения.

4. Для решения задачи, мы должны понимать, что удар является абсолютно неупругим. Это означает, что пружина будет полностью деформирована и тело соединится с ней вплоть до остановки, а также все кинетическая энергия перейдет во видовження пружины.

Следовательно, мы можем записать закон сохранения энергии:

\[ E_{\text{кин, до}} = E_{\text{после}} \]

где
\( E_{\text{кин, до}} \) - кинетическая энергия до столкновения,
\( E_{\text{после}} \) - энергия видовження пружины после столкновения.

Кинетическая энергия до столкновения равна нулю, так как тело падает вертикально без начальной скорости.

Поэтому:

\[ E_{\text{после}} = \frac{1}{2} k x^2 \]

где
\( k \) - коэффициент упругости пружины (постоянная жесткости пружины),
\( x \) - максимальное видовження на пружине.

5. Используя формулу для импульса после столкновения и закон сохранения импульса, мы можем выразить конечную скорость системы:

\[ p_{\text{после}} = M \cdot v_{\text{конечная}} \]

\[ v_{\text{конечная}} = \frac{p_{\text{после}}}{M} \]

6. Теперь мы можем решить задачу, найдя максимальное видовження пружины. Подставим найденное выше значение потенциальной энергии в формулу для энергии видовження пружины:

\[ 0,49 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} k x^2 \]

Подставим значение \( k = \frac{F}{x} \), где \( F \) - сила, вызывающая видовження, а \( x \) - расстояние, на которое пружина сжимается или раздувается:

\[ 0,49 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \frac{F}{x} x^2 \]

Упростим формулу:

\[ 0,49 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} F x \]

7. Найдем силу \( F \), используя формулу импульса:

\[ p_{\text{после}} = F t \]

где \( t \) - время столкновения.

Мы не знаем конкретного значения времени столкновения, но можно заметить, что выражение \( x = v_{\text{конечная}} t \), где \( v_{\text{конечная}} \) - конечная скорость системы. Тогда можно выразить время:

\[ t = \frac{x}{v_{\text{конечная}}} \]

Используя это соотношение, мы можем переписать формулу для импульса:

\[ p_{\text{после}} = F \cdot \frac{x}{v_{\text{конечная}}} \]

Из этого следует:

\[ F = \frac{p_{\text{после}} v_{\text{конечная}}}{x} \]

8. Теперь подставляем найденные значения в формулу для максимального видовження пружины:

\[ 0,49 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \left( \frac{p_{\text{после}} v_{\text{конечная}}}{x} \right) x \]

Сокращаем и упрощаем:

\[ 0,49 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} p_{\text{после}} v_{\text{конечная}} \]

\[ x = \frac{2 \cdot 0,49 \, \text{Дж}}{p_{\text{после}} v_{\text{конечная}}} \]

Подставляем значения \( p_{\text{после}} = 0,196 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \) и \( v_{\text{конечная}} \) (найденное в предыдущем шаге):

\[ x = \frac{2 \cdot 0,49 \, \text{Дж}}{(0,196 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}) \cdot \frac{p_{\text{после}}}{M}} \]

\[ x = \frac{2 \cdot 0,49 \, \text{Дж}}{0,196 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \cdot \frac{0,196 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{0,22 \, \text{кг}}} \]

\[ x \approx 0,5 \, \text{метра} \]

Таким образом, максимальное видовження пружины составляет примерно 0,5 метра.