Яке є відношення сторони правильного трикутника, який вписаний в коло, до сторони правильного трикутника, який описаний

Радуга

49

Чтобы ответить на ваш вопрос, нам необходимо рассмотреть связь между описанными и вписанными треугольниками.

Предположим, что сторона равностороннего треугольника, который вписан в окружность, составляет длину \(a\). Как известно, для равностороннего треугольника все стороны одинаковы, поэтому каждая сторона равна \(a\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который описан около этой же окружности. Пусть длина его гипотенузы равна \(b\).

Так как описанный треугольник является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение длин других двух сторон треугольника. Одна из этих сторон будет представлять радиус окружности, которая является отрезком, проведенным из центра окружности к вершине треугольника. Обозначим ее как \(r\).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора:

\[\text{гипотенуза}^2 = \text{катет}^2 + \text{катет}^2\]

\[b^2 = r^2 + r^2\]

Упрощая, получим:

\[b^2 = 2r^2\]

Теперь мы знаем, что длина гипотенузы равна \(\sqrt{2} \cdot r\):

\[b = \sqrt{2} \cdot r\]

Но мы также знаем, что радиус окружности \(r\) равен \(\frac{a}{2}\), так как он является отрезком, проведенным от центра окружности до любой вершины равностороннего треугольника:

\[r = \frac{a}{2}\]

Теперь мы можем найти значение для \(b\):

\[b = \sqrt{2} \cdot r = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, отношение стороны треугольника, который вписан в окружность, к стороне треугольника, который описан вокруг этой окружности, равно:

\[\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]

Итак, отношение сторон равно \(\sqrt{2}\).