Які будуть період і рівняння коливань тягарця, якщо його знизу відтягнути на 8 см від точки рівноваги і відпустити?

Вельвет

41

Для решения этой задачи мы можем использовать законы гармонических колебаний. Если тягарец отклоняется на растояние \( x \) от точки равновесия, его колебания можно описать следующим уравнением:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

где \( T \) - период колебаний тягарца, \( m \) - масса тягарца, \( k \) - коэффициент упругости пружины.

Для решения задачи нам необходимо знать значение коэффициента упругости пружины и массу тягарца.

Предположим, что коэффициент упругости пружины \( k \) равен 10 Н/м (Ньютон/метр) и масса тягарца \( m \) равна 0.5 кг (килограмм).

Теперь мы можем вычислить период колебаний тягарца, используя формулу:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{10}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{0.05}\]

\[ T \approx 2\pi \times 0.2236 \]

\[ T \approx 1.409 \]

Таким образом, период колебаний тягарца составляет примерно 1.409 секунд.

Чтобы найти уравнение колебаний, мы можем использовать уравнение гармонических колебаний:

\[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]

где:
\( x(t) \) - отклонение тягарца от точки равновесия,
\( A \) - амплитуда колебаний (в данном случае это 8 см),
\( \omega \) - угловая частота колебаний (равна \( \frac{2\pi}{T} \)),
\( t \) - время,
\( \phi \) - начальная фаза колебаний (равна нулю для простых колебаний).

Таким образом, уравнение колебаний тягарца будет выглядеть следующим образом:

\[ x(t) = 0.08 \cos\left(\frac{2\pi}{1.409}t\right) \]

Где \( x(t) \) представляет отклонение тягарца от средней позиции в каждый момент времени \( t \).