Які будуть радіуси двох кіл, якщо вони дотикаються всередині і мають відстань між центрами 15 см, а їх відношення

Звонкий_Спасатель

63

Для решения этой задачи, мы можем использовать два важных свойства касательных и окружностей. Давайте рассмотрим каждый шаг в подробностях.

Шаг 1: Нарисуем схему.

Для начала, нарисуем две окружности, которые касаются внутри. Обозначим радиус первой окружности как \(r_1\), а радиус второй окружности как \(r_2\).

\[ \begin{array}{c}
& \text{О} & \\
& | & \\
r_1 & | & r_2 \\
& | & \\
\_\_\_\_\_ C_1 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_ C_2 \\
\end{array} \]

Здесь \(C_1\) и \(C_2\) обозначают центры окружностей.

Шаг 2: Найдем расстояние между центрами.

Из условия задачи известно, что расстояние между центрами окружностей равно 15 см. Обозначим это расстояние как \(d\).

Теперь мы знаем, что \(d = 15 \, \text{см}\).

Шаг 3: Найдем отношение радиусов.

Из условия задачи также известно, что отношение радиусов окружностей составляет 2:1. Мы можем записать это как:

\(\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{2}{1}\)

Шаг 4: Найдем радиусы окружностей.

Для того чтобы найти радиусы окружностей, мы можем использовать следующие свойства:

a) Расстояние между центрами окружностей можно выразить через радиусы и длину отрезка, соединяющего центры окружностей. Это свойство часто называется теоремой косинусов.

b) Отношение радиусов окружностей, когда они касаются внутри, можно выразить через отношение расстояния между центрами и отношение радиусов. Это свойство также известно как теорема касательного прямоугольника.

Мы можем использовать эти свойства, чтобы решить задачу.

Используем свойство а):

Из теоремы косинусов мы знаем, что:

\[d^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2\]

Подставим известные значения:

\[15^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2\]

Выполним раскрытие скобок:

\[225 = r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 - (r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2)\]

Сократим подобные слагаемые:

\[225 = 4r_1r_2\]

Из этого уравнения мы можем найти значение \(r_2\) через известное значение \(r_1\):

\[r_2 = \dfrac{225}{4r_1}\]

Теперь, используя свойство b), мы можем записать:

\(\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{2}{1}\)

Подставим значение \(r_2\):

\(\dfrac{r_1}{\frac{225}{4r_1}} = \dfrac{2}{1}\)

Упростим выражение:

\(\dfrac{r_1^2}{\frac{225}{4}} = 2\)

Сократим дробь:

\(\dfrac{4r_1^2}{225} = 2\)

Разделим обе части уравнения на 2:

\(\dfrac{2r_1^2}{225} = 1\)

Переставим числитель и знаменатель:

\(\dfrac{225}{2r_1^2} = 1\)

Теперь найдем \(r_1\):

\(2r_1^2 = 225\)

Разделим обе части уравнения на 2:

\(r_1^2 = \dfrac{225}{2}\)

Вычислим:

\(r_1^2 = 112.5\)

Извлекаем квадратный корень:

\(r_1 = \sqrt{112.5}\)

Упростим:

\(r_1 = \sqrt{2 \cdot 56.25}\)

\(r_1 = \sqrt{2 \cdot (7.5)^2}\)

\(r_1 = 7.5\sqrt{2} \, \text{см}\)

Теперь, чтобы найти \(r_2\), мы можем подставить значение \(r_1\) в уравнение \(r_2 = \dfrac{225}{4r_1}\):

\(r_2 = \dfrac{225}{4(7.5\sqrt{2})}\)

Упростим:

\(r_2 = \dfrac{225}{30\sqrt{2}}\)

\(r_2 = \dfrac{15}{2\sqrt{2}}\)

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), чтобы избавиться от знаменателя радикала:

\(r_2 = \dfrac{15\sqrt{2}}{2 \cdot 2}\)

\(r_2 = \dfrac{15\sqrt{2}}{4}\)

\(r_2 = \dfrac{15}{4}\sqrt{2} \, \text{см}\)

Итак, радиус первой окружности \(r_1\) равен \(7.5\sqrt{2}\) см, а радиус второй окружности \(r_2\) равен \(\dfrac{15}{4}\sqrt{2}\) см.