Каков косинус угла между линиями BD и AB1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AB = 4, AD = 4 и AA1

Artem

38

Чтобы найти косинус угла между линиями BD и AB1 в прямоугольном параллелепипеде, нам нужно вычислить скалярное произведение векторов BD и AB1, а затем разделить его на произведение длин этих векторов.

Давайте начнем с определения векторов BD и AB1. Вектор BD — это вектор, направленный от точки B до точки D. Вектор AB1 — это вектор, направленный от точки A до точки B1.

Мы можем представить вектора BD и AB1 как комбинации комонентов их координат. Так как даны только размеры сторон прямоугольного параллелепипеда, мы можем выбрать любые значения для координат и сохранить прямоугольную форму параллелепипеда. Для удобства вычислений, пусть координаты точки B будут (0,0,0), координаты точки D будут (4,0,0), координаты точки A будут (0,0,4), а координаты точки B1 будут (0,4,0).

Теперь найдем векторы BD и AB1. Для этого вычислим разности соответствующих координат:

BD = (4-0, 0-0, 0-0) = (4, 0, 0)
AB1 = (0-0, 4-0, 0-4) = (0, 4, -4)

Теперь найдем скалярное произведение векторов BD и AB1. Для этого перемножим соответствующие координаты и сложим результаты:

BD · AB1 = (4 * 0) + (0 * 4) + (0 * -4) = 0

Теперь нам нужно вычислить длины векторов BD и AB1. Длина вектора определяется как квадратный корень суммы квадратов его координат. Давайте вычислим длины:

|BD| = √((4^2) + (0^2) + (0^2)) = √16 = 4
|AB1| = √((0^2) + (4^2) + (-4^2)) = √32 = 4√2

Теперь мы можем найти косинус угла между линиями BD и AB1, разделив скалярное произведение на произведение длин векторов:

cos(θ) = (BD · AB1) / (|BD| * |AB1|) = 0 / (4 * 4√2) = 0

Таким образом, косинус угла между линиями BD и AB1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 равен 0. Обратите внимание, что это означает, что угол между этими линиями равен 90 градусам, так как косинус 90 градусов равен 0.