Які члени геометричної прогресії (bn) можна сформувати, якщо різниця між другим і першим членом становить -3/4

Ледяной_Дракон

10

Давайте разберемся с данной задачей.

Дано, что разница между вторым (\(b_2\)) и первым (\(b_1\)) членами геометрической прогрессии (\(b_n\)) равна \(-3/4\), а разница между четвертым (\(b_4\)) и вторым (\(b_2\)) членами равна \(3/16\).

Разница между прогрессией используется для определения коэффициента прогрессии (\(q\)). Для геометрической прогрессии это отношение второго члена к первому (\(b_2/b_1\)), которое также равно отношению третьего к второму (\(b_3/b_2\)) и так далее.

Итак, мы можем установить следующее:

\[
\begin{align*}
\frac{{b_2}}{{b_1}} &= -\frac{{3}}{{4}} \\
\frac{{b_4}}{{b_2}} &= \frac{{3}}{{16}}
\end{align*}
\]

Мы можем использовать эти соотношения, чтобы найти значение коэффициента прогрессии \(q\).

Для начала найдем отношение \(b_3/b_2\):

\[
\frac{{b_3}}{{b_2}} = \left( \frac{{b_4}}{{b_2}} \right)^2 = \left( \frac{{3}}{{16}} \right)^2 = \frac{{9}}{{256}}
\]

Известно, что это также равно \(q\):

\[
q = \frac{{b_3}}{{b_2}} = \frac{{9}}{{256}}
\]

Теперь используя оба уравнения, мы можем найти значения первого и второго членов геометрической прогрессии.

Из первого уравнения:

\[
\frac{{b_2}}{{b_1}} = -\frac{{3}}{{4}}
\]

Мы можем переписать его в виде:

\[
b_2 = -\frac{{3}}{{4}} b_1
\]

Теперь можем использовать найденное значение коэффициента прогрессии \(q\) для определения выражения \(b_3\) через \(b_2\):

\[
b_3 = q \times b_2 = \frac{{9}}{{256}} \times \left( -\frac{{3}}{{4}} b_1 \right) = -\frac{{27}}{{1024}} b_1
\]

Теперь можно использовать второе уравнение для определения значения:

\[
\frac{{b_4}}{{b_2}} = \frac{{3}}{{16}}
\]

Также запишем это в виде:

\[
b_4 = \frac{{3}}{{16}} b_2
\]

Подставляем значение \(b_2\) в это уравнение:

\[
b_4 = \frac{{3}}{{16}} \times \left( -\frac{{3}}{{4}} b_1 \right) = -\frac{{9}}{{64}} b_1
\]

Теперь у нас есть выражения для \(b_3\) и \(b_4\) через \(b_1\):

\[
b_3 = -\frac{{27}}{{1024}} b_1
\]

\[
b_4 = -\frac{{9}}{{64}} b_1
\]

Чтобы найти все возможные значения \(b_n\), мы можем просто задать любое значение для \(b_1\) и вычислить остальные члены.

Например, если мы выберем \(b_1 = 1\), то:

\[
\begin{align*}
b_2 &= -\frac{{3}}{{4}} \\
b_3 &= -\frac{{27}}{{1024}} \\
b_4 &= -\frac{{9}}{{64}}
\end{align*}
\]

Таким образом, члены геометрической прогрессии при \(b_1 = 1\) будут:

\[
1, -\frac{{3}}{{4}}, -\frac{{27}}{{1024}}, -\frac{{9}}{{64}}, \ldots
\]

В общем виде, члены геометрической прогрессии могут быть представлены как:

\[
b_n = b_1 \times q^{(n-1)}
\]

где \(b_1\) - первый член прогрессии, а \(q\) - коэффициент прогрессии.

Надеюсь, это решение понятно и полно для школьника. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!