Какой угол образуется между перпендикуляром, проведенным из середины гипотенузы, и отрезком, соединяющим полученную
Какой угол образуется между перпендикуляром, проведенным из середины гипотенузы, и отрезком, соединяющим полученную точку с концом другого катета, если данный отрезок делит угол треугольника в пропорции 3:14 (при гипотенузе)? Укажите точное значение угла в градусах в ответе.
Сквозь_Холмы 23
Для решения данной задачи, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты. Пусть точка D - середина гипотенузы AB.Из условия задачи, у нас есть отрезок DC, который делит угол BAC треугольника ABC в пропорции 3:14. Пусть угол BAC равен α градусам.
Так как DC делит угол BAC в пропорции 3:14, то можем записать следующее соотношение:
\(\frac{BD}{DC} = \frac{3}{14}\)
Так как точка D - середина гипотенузы, то BD = CD.
Следовательно, можем переписать предыдущее соотношение следующим образом:
\(\frac{BD}{BD + CD} = \frac{3}{14}\)
Теперь решим это уравнение относительно угла α.
Угол, образованный перпендикуляром, проведенным из середины гипотенузы, равен углу, составляющему этот отрезок с катетом.
То есть, мы ищем угол ACD.
Угол ACD равен половине угла BAC, так как точка D - середина гипотенузы.
Теперь у нас есть уравнение:
\(\frac{BD}{BD + CD} = \frac{3}{14}\)
\(\frac{BD}{AB} = \frac{3}{14}\)
\(\frac{BD}{\sqrt{BC^2 + AC^2}} = \frac{3}{14}\)
\(\frac{BD}{\sqrt{BC^2 + BC^2}} = \frac{3}{14}\)
\(\frac{BD}{\sqrt{2 \cdot BC^2}} = \frac{3}{14}\)
\(\frac{BD}{BC} = \frac{3}{14} \cdot \sqrt{2}\)
Теперь можем решить это уравнение относительно угла α:
\(\tan(\alpha) = \frac{BD}{BC}\)
\(\tan(\alpha) = \frac{3}{14} \cdot \sqrt{2}\)
\(\alpha = \arctan(\frac{3}{14} \cdot \sqrt{2})\)
С помощью калькулятора получим точное значение угла α:
\(\alpha \approx 11.64\) градусов.
Ответ: Угол, образуемый между перпендикуляром, проведенным из середины гипотенузы, и отрезком, соединяющим полученную точку с концом другого катета, равен примерно 11.64 градусов.