Какая площадь боковой поверхности усеченного конуса с радиусом меньшего основания R, образующей l и углом α между

Maksimovich

58

Чтобы найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, нам понадобится знать радиус меньшего основания \(R\), длину образующей \(l\) и угол \(\alpha\) между высотой и образующей. Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти с помощью следующей формулы:

\[S = \pi(R_1 + R_2)l,\]

где \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы оснований.

Чтобы понять, как получить итоговую формулу, мы можем разделить усеченный конус на верхний и нижний конусы. Их поверхности можно найти по обычной формуле боковой поверхности конуса, а затем просто сложить эти значения.

Рассмотрим конус, полученный удалением верхней части усеченного конуса. Пусть радиус его основания будет \(R_1\), а высота \(h\). Тогда его боковая поверхность равна:

\[S_1 = \pi R_1 l_1,\]

где \(l_1\) - образующая данного конуса.

Аналогично, для нижнего конуса с радиусом основания \(R_2\) и высотой \(h_2\) его боковая поверхность будет:

\[S_2 = \pi R_2 l_2.\]

Осталось только найти значения радиусов оснований \(R_1\) и \(R_2\) и соответствующие им длины образующих \(l_1\) и \(l_2\).

Из геометрических соображений можно заметить, что соотношение между радиусами и образующими верхнего и нижнего конусов следующее:

\[\frac{R_1}{R} = \frac{h_1}{h},\]
\[\frac{R_2}{R} = \frac{h_2}{h},\]

где \(h_1\) и \(h_2\) - высоты верхнего и нижнего конусов соответственно.

Используя тригонометрические соотношения, связывающие угол \(\alpha\) и отношение сторон прямоугольного треугольника, можно найти \(h_1\) и \(h_2\):

\[h_1 = h \cdot \sin(\alpha),\]
\[h_2 = h \cdot \cos(\alpha).\]

Теперь мы можем найти значения радиусов оснований \(R_1\) и \(R_2\):

\[R_1 = R \cdot \frac{h_1}{h} = R \cdot \sin(\alpha),\]
\[R_2 = R \cdot \frac{h_2}{h} = R \cdot \cos(\alpha).\]

Подставляя полученные значения \(R_1\), \(R_2\) и \(l\) в формулу для площади боковой поверхности конуса, мы получим окончательное выражение:

\[S = \pi(R_1 + R_2)l = \pi(R \cdot \sin(\alpha) + R \cdot \cos(\alpha))l = \pi R (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))l.\]

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна \(\pi R (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))l\).