Які довжини гіпотенузи прямокутного трикутника MNK (ZN = 90°) будуть, якщо МН = 10см і sin ZК = 5/9?

Геннадий

31

Для решения данной задачи мы будем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник МНК с прямым углом в точке Z. Нам известна длина катета МН, которая равна 10 см, а также значение синуса угла ZК, которое равно 5/9.

Для начала, найдем длину катета МК. Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[МК^2 = МН^2 - НК^2\]
\[МК^2 = 10^2 - НК^2\]

Теперь, нам нужно найти длину катета НК. Мы знаем, что синус угла ZК равен 5/9, а синус это отношение противоположной стороны (в нашем случае НК) к гипотенузе. Поскольку гипотенуза равна 1 (потому что ZN = 90°), мы можем записать следующее:

\[sin ZК = \frac{НК}{МН}\]
\[\frac{5}{9} = \frac{НК}{10}\]

Теперь мы можем решить это уравнение и найти длину катета НК:

\[НК = \frac{5}{9} \cdot 10\]
\[НК = \frac{50}{9} \approx 5.56\text{ см}\]

Теперь, мы можем вернуться к уравнению для МК и заменить значение НК:

\[МК^2 = 10^2 - (\frac{50}{9})^2\]
\[МК^2 = 100 - \frac{2500}{81}\]
\[МК^2 = \frac{8100 - 2500}{81}\]
\[МК^2 = \frac{5600}{81}\]
\[МК = \sqrt{\frac{5600}{81}}\]
\[МК \approx 8.17\text{ см}\]

Таким образом, длины гипотенузы прямоугольного треугольника МНК будут примерно равны 5.56 см и 8.17 см.