Яка площа круга, що вписаний у квадрат з такою самою площею?

Карнавальный_Клоун

66

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим следующие шаги.

Шаг 1: Найдем площадь квадрата.
Пусть площадь квадрата равна S. Это означает, что сторона квадрата будет равна корню квадратному из S. Таким образом, сторона квадрата будет равна \(\sqrt{S}\).

Шаг 2: Найдем диаметр вписанного круга.
Вписанный круг в квадрат будет иметь диаметр, равный стороне квадрата, поэтому диаметр вписанного круга будет равен \(\sqrt{S}\).

Шаг 3: Найдем радиус вписанного круга.
Радиус круга равен половине его диаметра, поэтому радиус вписанного круга будет равен \(\frac{{\sqrt{S}}}{2}\).

Шаг 4: Найдем площадь вписанного круга.
Формула для площади круга связана с радиусом и может быть записана так: \(S_{круга} = \pi \cdot r^2\), где \(\pi\) - это число пи (приблизительно равное 3.14), а \(r\) - радиус круга. Подставим значение радиуса в формулу: \(S_{круга} = \pi \cdot \left(\frac{{\sqrt{S}}}{2}\right)^2\).

Шаг 5: Найдем площадь круга, вписанного в квадрат.
Поскольку площадь круга равна площади квадрата, мы можем записать уравнение: \(S_{круга} = S\).

Теперь у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
S_{круга} &= S \\
S_{круга} &= \pi \cdot \left(\frac{{\sqrt{S}}}{2}\right)^2
\end{align*}
\]

Мы можем решить эти уравнения, чтобы найти площадь круга, вписанного в квадрат.

Объединим уравнения:
\[
S = \pi \cdot \left(\frac{{\sqrt{S}}}{2}\right)^2
\]

Раскроем скобки и упростим:
\[
S = \pi \cdot \left(\frac{S}{4}\right)
\]

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[
4S = \pi \cdot S
\]

Разделим обе части уравнения на S:
\[
4 = \pi
\]

Таким образом, мы получаем, что \(\pi = 4\).

Теперь мы можем найти площадь круга, вписанного в квадрат, используя любое из уравнений:
\[
S_{круга} = \pi \cdot \left(\frac{{\sqrt{S}}}{2}\right)^2 = 4 \cdot \left(\frac{{\sqrt{S}}}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{S}{4} = S
\]

Таким образом, площадь круга, вписанного в квадрат с такой же площадью, равна площади квадрата.